Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30256 / 28112
↖ ↑ ↗
← N 24.766785°
W 13.798828°		 ← 554.61 m → N 24.766785°
W 13.793335°		 →
↑
554.66 m
↓
↑
554.66 m
↓
N 24.761797°
W 13.798828°		 ← 554.63 m →
307 625 m²		 N 24.761797°
W 13.793335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461677551269531 y=0.428962707519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461677551269531 × 216)
    floor (0.461677551269531 × 65536)
    floor (30256.5)     		tx = 30256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428962707519531 × 216)
    floor (0.428962707519531 × 65536)
    floor (28112.5)     		ty = 28112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30256 / 28112 ti = "16/30256/28112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30256/28112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30256 ÷ 216
    30256 ÷ 65536     		x = 0.461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28112 ÷ 216
    28112 ÷ 65536     		y = 0.428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428955078125 × 2 - 1) × π
    0.14208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.446388409261963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24083498} λ = -0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446388409261963))-π/2
    2×atan(1.56265829963318)-π/2
    2×1.00152913091972-π/2
    2.00305826183944-1.57079632675     		φ = 0.43226194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43226194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.766785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30256 KachelY 28112 -0.24083498 0.43226194 -13.798828 24.766785
    Oben rechts KachelX + 1 30257 KachelY 28112 -0.24073911 0.43226194 -13.793335 24.766785
    Unten links KachelX 30256 KachelY + 1 28113 -0.24083498 0.43217488 -13.798828 24.761797
    Unten rechts KachelX + 1 30257 KachelY + 1 28113 -0.24073911 0.43217488 -13.793335 24.761797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43226194-0.43217488) × R
    8.70600000000277e-05 × 6371000     		dl = 554.659260000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43226194-0.43217488) × R
    8.70600000000277e-05 × 6371000     		dr = 554.659260000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24083498--0.24073911) × cos(0.43226194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908020488433387 × 6371000     		do = 554.607809244527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24083498--0.24073911) × cos(0.43217488) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908056956668882 × 6371000     		du = 554.630083596761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43226194)-sin(0.43217488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908020488433387-0.908056956668882)×R²
    abs(-0.24073911--0.24083498)×3.64682354946355e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64682354946355e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64682354946355e-05×40589641000000     		ar = 307624.534597998m²