Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30256 / 20001
↖ ↑ ↗
← N 57.228530°
W 13.798828°		 ← 330.61 m → N 57.228530°
W 13.793335°		 →
↑
330.65 m
↓
↑
330.65 m
↓
N 57.225556°
W 13.798828°		 ← 330.64 m →
109 323 m²		 N 57.225556°
W 13.793335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461677551269531 y=0.305198669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461677551269531 × 216)
    floor (0.461677551269531 × 65536)
    floor (30256.5)     		tx = 30256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305198669433594 × 216)
    floor (0.305198669433594 × 65536)
    floor (20001.5)     		ty = 20001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30256 / 20001 ti = "16/30256/20001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30256/20001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30256 ÷ 216
    30256 ÷ 65536     		x = 0.461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20001 ÷ 216
    20001 ÷ 65536     		y = 0.305191040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305191040039062 × 2 - 1) × π
    0.389617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22402079489851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24083498} λ = -0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22402079489851))-π/2
    2×atan(3.40083433749346)-π/2
    2×1.28481129822208-π/2
    2.56962259644416-1.57079632675     		φ = 0.99882627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99882627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.228530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30256 KachelY 20001 -0.24083498 0.99882627 -13.798828 57.228530
    Oben rechts KachelX + 1 30257 KachelY 20001 -0.24073911 0.99882627 -13.793335 57.228530
    Unten links KachelX 30256 KachelY + 1 20002 -0.24083498 0.99877437 -13.798828 57.225556
    Unten rechts KachelX + 1 30257 KachelY + 1 20002 -0.24073911 0.99877437 -13.793335 57.225556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99882627-0.99877437) × R
    5.18999999999936e-05 × 6371000     		dl = 330.654899999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99882627-0.99877437) × R
    5.18999999999936e-05 × 6371000     		dr = 330.654899999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24083498--0.24073911) × cos(0.99882627) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.541289593208802 × 6371000     		do = 330.613063560204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24083498--0.24073911) × cos(0.99877437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.541333231880435 × 6371000     		du = 330.639717527137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99882627)-sin(0.99877437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541289593208802-0.541333231880435)×R²
    abs(-0.24073911--0.24083498)×4.36386716330395e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36386716330395e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36386716330395e-05×40589641000000     		ar = 109323.236126824m²