Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30255 / 42654
↖ ↑ ↗
← S 47.628380°
W 13.804321°		 ← 411.68 m → S 47.628380°
W 13.798828°		 →
↑
411.63 m
↓
↑
411.63 m
↓
S 47.632082°
W 13.804321°		 ← 411.65 m →
169 452 m²		 S 47.632082°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461662292480469 y=0.650856018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461662292480469 × 216)
    floor (0.461662292480469 × 65536)
    floor (30255.5)     		tx = 30255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650856018066406 × 216)
    floor (0.650856018066406 × 65536)
    floor (42654.5)     		ty = 42654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30255 / 42654 ti = "16/30255/42654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30255/42654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30255 ÷ 216
    30255 ÷ 65536     		x = 0.461654663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42654 ÷ 216
    42654 ÷ 65536     		y = 0.650848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461654663085938 × 2 - 1) × π
    -0.076690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24093086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.30169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.94780837928775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24093086} λ = -0.24093086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94780837928775))-π/2
    2×atan(0.387589542568179)-π/2
    2×0.369762138971547-π/2
    0.739524277943094-1.57079632675     		φ = -0.83127205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24093086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.804321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83127205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.628380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30255 KachelY 42654 -0.24093086 -0.83127205 -13.804321 -47.628380
    Oben rechts KachelX + 1 30256 KachelY 42654 -0.24083498 -0.83127205 -13.798828 -47.628380
    Unten links KachelX 30255 KachelY + 1 42655 -0.24093086 -0.83133666 -13.804321 -47.632082
    Unten rechts KachelX + 1 30256 KachelY + 1 42655 -0.24083498 -0.83133666 -13.798828 -47.632082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83127205--0.83133666) × R
    6.46099999999095e-05 × 6371000     		dl = 411.630309999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83127205--0.83133666) × R
    6.46099999999095e-05 × 6371000     		dr = 411.630309999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24093086--0.24083498) × cos(-0.83127205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.673936528711856 × 6371000     		do = 411.675125989668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24093086--0.24083498) × cos(-0.83133666) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.673888794131817 × 6371000     		du = 411.645967250804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83127205)-sin(-0.83133666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673936528711856-0.673888794131817)×R²
    abs(-0.24083498--0.24093086)×4.77345800388163e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77345800388163e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77345800388163e-05×40589641000000     		ar = 169451.958478696m²