Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30255 / 41507
↖ ↑ ↗
← S 43.209180°
W 13.804321°		 ← 445.22 m → S 43.209180°
W 13.798828°		 →
↑
445.21 m
↓
↑
445.21 m
↓
S 43.213183°
W 13.804321°		 ← 445.20 m →
198 210 m²		 S 43.213183°
W 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461662292480469 y=0.633354187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461662292480469 × 216)
    floor (0.461662292480469 × 65536)
    floor (30255.5)     		tx = 30255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633354187011719 × 216)
    floor (0.633354187011719 × 65536)
    floor (41507.5)     		ty = 41507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30255 / 41507 ti = "16/30255/41507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30255/41507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30255 ÷ 216
    30255 ÷ 65536     		x = 0.461654663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41507 ÷ 216
    41507 ÷ 65536     		y = 0.633346557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461654663085938 × 2 - 1) × π
    -0.076690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24093086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633346557617188 × 2 - 1) × π
    -0.266693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.837841131559341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24093086} λ = -0.24093086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837841131559341))-π/2
    2×atan(0.432643536417383)-π/2
    2×0.40832693706456-π/2
    0.816653874129119-1.57079632675     		φ = -0.75414245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24093086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.804321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75414245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.209180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30255 KachelY 41507 -0.24093086 -0.75414245 -13.804321 -43.209180
    Oben rechts KachelX + 1 30256 KachelY 41507 -0.24083498 -0.75414245 -13.798828 -43.209180
    Unten links KachelX 30255 KachelY + 1 41508 -0.24093086 -0.75421233 -13.804321 -43.213183
    Unten rechts KachelX + 1 30256 KachelY + 1 41508 -0.24083498 -0.75421233 -13.798828 -43.213183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75414245--0.75421233) × R
    6.98799999999666e-05 × 6371000     		dl = 445.205479999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75414245--0.75421233) × R
    6.98799999999666e-05 × 6371000     		dr = 445.205479999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24093086--0.24083498) × cos(-0.75414245) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.728858944625949 × 6371000     		do = 445.224565035965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24093086--0.24083498) × cos(-0.75421233) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.728811098533943 × 6371000     		du = 445.19533817985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75414245)-sin(-0.75421233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728858944625949-0.728811098533943)×R²
    abs(-0.24083498--0.24093086)×4.7846092006365e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7846092006365e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7846092006365e-05×40589641000000     		ar = 198209.910286871m²