Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30254 / 42106
↖ ↑ ↗
← S 45.560218°
W 13.809814°		 ← 427.65 m → S 45.560218°
W 13.804321°		 →
↑
427.69 m
↓
↑
427.69 m
↓
S 45.564064°
W 13.809814°		 ← 427.62 m →
182 893 m²		 S 45.564064°
W 13.804321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461647033691406 y=0.642494201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461647033691406 × 216)
    floor (0.461647033691406 × 65536)
    floor (30254.5)     		tx = 30254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642494201660156 × 216)
    floor (0.642494201660156 × 65536)
    floor (42106.5)     		ty = 42106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30254 / 42106 ti = "16/30254/42106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30254/42106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30254 ÷ 216
    30254 ÷ 65536     		x = 0.461639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42106 ÷ 216
    42106 ÷ 65536     		y = 0.642486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461639404296875 × 2 - 1) × π
    -0.07672119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24102673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642486572265625 × 2 - 1) × π
    -0.28497314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.895269537304169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24102673} λ = -0.24102673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895269537304169))-π/2
    2×atan(0.408497478491659)-π/2
    2×0.387810257767146-π/2
    0.775620515534291-1.57079632675     		φ = -0.79517581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24102673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.809814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79517581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.560218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30254 KachelY 42106 -0.24102673 -0.79517581 -13.809814 -45.560218
    Oben rechts KachelX + 1 30255 KachelY 42106 -0.24093086 -0.79517581 -13.804321 -45.560218
    Unten links KachelX 30254 KachelY + 1 42107 -0.24102673 -0.79524294 -13.809814 -45.564064
    Unten rechts KachelX + 1 30255 KachelY + 1 42107 -0.24093086 -0.79524294 -13.804321 -45.564064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79517581--0.79524294) × R
    6.71299999999153e-05 × 6371000     		dl = 427.68522999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79517581--0.79524294) × R
    6.71299999999153e-05 × 6371000     		dr = 427.68522999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24102673--0.24093086) × cos(-0.79517581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700159250858697 × 6371000     		do = 427.648707476845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24102673--0.24093086) × cos(-0.79524294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.700111319353214 × 6371000     		du = 427.619431499498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79517581)-sin(-0.79524294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700159250858697-0.700111319353214)×R²
    abs(-0.24093086--0.24102673)×4.79315054828788e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79315054828788e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79315054828788e-05×40589641000000     		ar = 182892.775433407m²