Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30254 / 42070
↖ ↑ ↗
← S 45.421588°
W 13.809814°		 ← 428.70 m → S 45.421588°
W 13.804321°		 →
↑
428.70 m
↓
↑
428.70 m
↓
S 45.425443°
W 13.809814°		 ← 428.67 m →
183 780 m²		 S 45.425443°
W 13.804321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461647033691406 y=0.641944885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461647033691406 × 216)
    floor (0.461647033691406 × 65536)
    floor (30254.5)     		tx = 30254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641944885253906 × 216)
    floor (0.641944885253906 × 65536)
    floor (42070.5)     		ty = 42070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30254 / 42070 ti = "16/30254/42070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30254/42070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30254 ÷ 216
    30254 ÷ 65536     		x = 0.461639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42070 ÷ 216
    42070 ÷ 65536     		y = 0.641937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461639404296875 × 2 - 1) × π
    -0.07672119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24102673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641937255859375 × 2 - 1) × π
    -0.28387451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.891818080531525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24102673} λ = -0.24102673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891818080531525))-π/2
    2×atan(0.409909825806204)-π/2
    2×0.389020031288305-π/2
    0.778040062576609-1.57079632675     		φ = -0.79275626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24102673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.809814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79275626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.421588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30254 KachelY 42070 -0.24102673 -0.79275626 -13.809814 -45.421588
    Oben rechts KachelX + 1 30255 KachelY 42070 -0.24093086 -0.79275626 -13.804321 -45.421588
    Unten links KachelX 30254 KachelY + 1 42071 -0.24102673 -0.79282355 -13.809814 -45.425443
    Unten rechts KachelX + 1 30255 KachelY + 1 42071 -0.24093086 -0.79282355 -13.804321 -45.425443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79275626--0.79282355) × R
    6.72900000000531e-05 × 6371000     		dl = 428.704590000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79275626--0.79282355) × R
    6.72900000000531e-05 × 6371000     		dr = 428.704590000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24102673--0.24093086) × cos(-0.79275626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701884726276747 × 6371000     		do = 428.702606759625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24102673--0.24093086) × cos(-0.79282355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701836794656466 × 6371000     		du = 428.673330712161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79275626)-sin(-0.79282355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701884726276747-0.701836794656466)×R²
    abs(-0.24093086--0.24102673)×4.79316202813829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79316202813829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79316202813829e-05×40589641000000     		ar = 183780.499944389m²