Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30254 / 22047
↖ ↑ ↗
← N 75.824332°
W 96.904907°		 ← 74.78 m → N 75.824332°
W 96.902161°		 →
↑
74.80 m
↓
↑
74.80 m
↓
N 75.823660°
W 96.904907°		 ← 74.79 m →
5 593 m²		 N 75.823660°
W 96.902161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230823516845703 y=0.168209075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230823516845703 × 217)
    floor (0.230823516845703 × 131072)
    floor (30254.5)     		tx = 30254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168209075927734 × 217)
    floor (0.168209075927734 × 131072)
    floor (22047.5)     		ty = 22047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30254 / 22047 ti = "17/30254/22047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30254/22047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30254 ÷ 217
    30254 ÷ 131072     		x = 0.230819702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22047 ÷ 217
    22047 ÷ 131072     		y = 0.168205261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230819702148438 × 2 - 1) × π
    -0.538360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.69130969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168205261230469 × 2 - 1) × π
    0.663589477539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.08472782757662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69130969} λ = -1.69130969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08472782757662))-π/2
    2×atan(8.04240226367493)-π/2
    2×1.4470902879435-π/2
    2.89418057588699-1.57079632675     		φ = 1.32338425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69130969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.904907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32338425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.824332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30254 KachelY 22047 -1.69130969 1.32338425 -96.904907 75.824332
    Oben rechts KachelX + 1 30255 KachelY 22047 -1.69126176 1.32338425 -96.902161 75.824332
    Unten links KachelX 30254 KachelY + 1 22048 -1.69130969 1.32337251 -96.904907 75.823660
    Unten rechts KachelX + 1 30255 KachelY + 1 22048 -1.69126176 1.32337251 -96.902161 75.823660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32338425-1.32337251) × R
    1.17399999999268e-05 × 6371000     		dl = 74.7955399995337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32338425-1.32337251) × R
    1.17399999999268e-05 × 6371000     		dr = 74.7955399995337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69130969--1.69126176) × cos(1.32338425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.244895662639005 × 6371000     		do = 74.7818366816874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69130969--1.69126176) × cos(1.32337251) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.24490704513254 × 6371000     		du = 74.7853124630198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32338425)-sin(1.32337251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244895662639005-0.24490704513254)×R²
    abs(-1.69126176--1.69130969)×1.13824935353557e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.13824935353557e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.13824935353557e-05×40589641000000     		ar = 5593.47784338035m²