Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30253 / 22046
↖ ↑ ↗
← N 75.825005°
W 96.907654°		 ← 74.79 m → N 75.825005°
W 96.904907°		 →
↑
74.80 m
↓
↑
74.80 m
↓
N 75.824332°
W 96.907654°		 ← 74.80 m →
5 594 m²		 N 75.824332°
W 96.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230815887451172 y=0.168201446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230815887451172 × 217)
    floor (0.230815887451172 × 131072)
    floor (30253.5)     		tx = 30253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168201446533203 × 217)
    floor (0.168201446533203 × 131072)
    floor (22046.5)     		ty = 22046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30253 / 22046 ti = "17/30253/22046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30253/22046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30253 ÷ 217
    30253 ÷ 131072     		x = 0.230812072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22046 ÷ 217
    22046 ÷ 131072     		y = 0.168197631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230812072753906 × 2 - 1) × π
    -0.538375854492188 × 3.1415926535     		Λ = -1.69135763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168197631835938 × 2 - 1) × π
    0.663604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08477576447624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69135763} λ = -1.69135763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08477576447624))-π/2
    2×atan(8.0427878007456)-π/2
    2×1.44709615757651-π/2
    2.89419231515302-1.57079632675     		φ = 1.32339599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69135763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.907654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32339599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.825005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30253 KachelY 22046 -1.69135763 1.32339599 -96.907654 75.825005
    Oben rechts KachelX + 1 30254 KachelY 22046 -1.69130969 1.32339599 -96.904907 75.825005
    Unten links KachelX 30253 KachelY + 1 22047 -1.69135763 1.32338425 -96.907654 75.824332
    Unten rechts KachelX + 1 30254 KachelY + 1 22047 -1.69130969 1.32338425 -96.904907 75.824332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32339599-1.32338425) × R
    1.17400000001489e-05 × 6371000     		dl = 74.7955400009483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32339599-1.32338425) × R
    1.17400000001489e-05 × 6371000     		dr = 74.7955400009483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69135763--1.69130969) × cos(1.32339599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244884280111716 × 6371000     		do = 74.793962467439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69135763--1.69130969) × cos(1.32338425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244895662639005 × 6371000     		du = 74.7974389842593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32339599)-sin(1.32338425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244884280111716-0.244895662639005)×R²
    abs(-1.69130969--1.69135763)×1.13825272889667e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13825272889667e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13825272889667e-05×40589641000000     		ar = 5594.38482559894m²