Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30253 / 20063
↖ ↑ ↗
← N 57.043718°
W 13.815308°		 ← 332.30 m → N 57.043718°
W 13.809814°		 →
↑
332.31 m
↓
↑
332.31 m
↓
N 57.040730°
W 13.815308°		 ← 332.33 m →
110 432 m²		 N 57.040730°
W 13.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461631774902344 y=0.306144714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461631774902344 × 216)
    floor (0.461631774902344 × 65536)
    floor (30253.5)     		tx = 30253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306144714355469 × 216)
    floor (0.306144714355469 × 65536)
    floor (20063.5)     		ty = 20063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30253 / 20063 ti = "16/30253/20063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30253/20063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30253 ÷ 216
    30253 ÷ 65536     		x = 0.461624145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20063 ÷ 216
    20063 ÷ 65536     		y = 0.306137084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461624145507812 × 2 - 1) × π
    -0.076751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24112261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306137084960938 × 2 - 1) × π
    0.387725830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21807661934563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24112261} λ = -0.24112261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21807661934563))-π/2
    2×atan(3.38067914351639)-π/2
    2×1.28319851376988-π/2
    2.56639702753975-1.57079632675     		φ = 0.99560070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24112261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.815308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99560070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.043718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30253 KachelY 20063 -0.24112261 0.99560070 -13.815308 57.043718
    Oben rechts KachelX + 1 30254 KachelY 20063 -0.24102673 0.99560070 -13.809814 57.043718
    Unten links KachelX 30253 KachelY + 1 20064 -0.24112261 0.99554854 -13.815308 57.040730
    Unten rechts KachelX + 1 30254 KachelY + 1 20064 -0.24102673 0.99554854 -13.809814 57.040730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99560070-0.99554854) × R
    5.21599999999678e-05 × 6371000     		dl = 332.311359999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99560070-0.99554854) × R
    5.21599999999678e-05 × 6371000     		dr = 332.311359999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24112261--0.24102673) × cos(0.99560070) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.543998948776784 × 6371000     		do = 332.302562978717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24112261--0.24102673) × cos(0.99554854) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.544042714757169 × 6371000     		du = 332.329297492609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99560070)-sin(0.99554854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543998948776784-0.544042714757169)×R²
    abs(-0.24102673--0.24112261)×4.37659803848023e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.37659803848023e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.37659803848023e-05×40589641000000     		ar = 110432.358751106m²