Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30252 / 41715
↖ ↑ ↗
← S 44.036270°
W 13.820801°		 ← 439.10 m → S 44.036270°
W 13.815308°		 →
↑
439.09 m
↓
↑
439.09 m
↓
S 44.040219°
W 13.820801°		 ← 439.07 m →
192 796 m²		 S 44.040219°
W 13.815308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461616516113281 y=0.636528015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461616516113281 × 216)
    floor (0.461616516113281 × 65536)
    floor (30252.5)     		tx = 30252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636528015136719 × 216)
    floor (0.636528015136719 × 65536)
    floor (41715.5)     		ty = 41715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30252 / 41715 ti = "16/30252/41715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30252/41715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30252 ÷ 216
    30252 ÷ 65536     		x = 0.46160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41715 ÷ 216
    41715 ÷ 65536     		y = 0.636520385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.0767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24121848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636520385742188 × 2 - 1) × π
    -0.273040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.857782881801285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24121848} λ = -0.24121848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857782881801285))-π/2
    2×atan(0.424101323491065)-π/2
    2×0.401109214169783-π/2
    0.802218428339567-1.57079632675     		φ = -0.76857790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24121848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76857790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.036270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30252 KachelY 41715 -0.24121848 -0.76857790 -13.820801 -44.036270
    Oben rechts KachelX + 1 30253 KachelY 41715 -0.24112261 -0.76857790 -13.815308 -44.036270
    Unten links KachelX 30252 KachelY + 1 41716 -0.24121848 -0.76864682 -13.820801 -44.040219
    Unten rechts KachelX + 1 30253 KachelY + 1 41716 -0.24112261 -0.76864682 -13.815308 -44.040219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76857790--0.76864682) × R
    6.89199999999168e-05 × 6371000     		dl = 439.08931999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76857790--0.76864682) × R
    6.89199999999168e-05 × 6371000     		dr = 439.08931999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24121848--0.24112261) × cos(-0.76857790) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.718899917260306 × 6371000     		do = 439.095277316724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24121848--0.24112261) × cos(-0.76864682) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.71885200832405 × 6371000     		du = 439.066015124386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76857790)-sin(-0.76864682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718899917260306-0.71885200832405)×R²
    abs(-0.24112261--0.24121848)×4.7908936255503e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.7908936255503e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.7908936255503e-05×40589641000000     		ar = 192795.622450316m²