Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30252 / 41540
↖ ↑ ↗
← S 43.341160°
W 13.820801°		 ← 444.21 m → S 43.341160°
W 13.815308°		 →
↑
444.25 m
↓
↑
444.25 m
↓
S 43.345155°
W 13.820801°		 ← 444.18 m →
197 335 m²		 S 43.345155°
W 13.815308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461616516113281 y=0.633857727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461616516113281 × 216)
    floor (0.461616516113281 × 65536)
    floor (30252.5)     		tx = 30252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633857727050781 × 216)
    floor (0.633857727050781 × 65536)
    floor (41540.5)     		ty = 41540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30252 / 41540 ti = "16/30252/41540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30252/41540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30252 ÷ 216
    30252 ÷ 65536     		x = 0.46160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41540 ÷ 216
    41540 ÷ 65536     		y = 0.63385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.0767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24121848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.841004966934265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24121848} λ = -0.24121848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841004966934265))-π/2
    2×atan(0.431276886559713)-π/2
    2×0.407175191117044-π/2
    0.814350382234087-1.57079632675     		φ = -0.75644594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24121848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75644594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.341160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30252 KachelY 41540 -0.24121848 -0.75644594 -13.820801 -43.341160
    Oben rechts KachelX + 1 30253 KachelY 41540 -0.24112261 -0.75644594 -13.815308 -43.341160
    Unten links KachelX 30252 KachelY + 1 41541 -0.24121848 -0.75651567 -13.820801 -43.345155
    Unten rechts KachelX + 1 30253 KachelY + 1 41541 -0.24112261 -0.75651567 -13.815308 -43.345155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75644594--0.75651567) × R
    6.97299999999901e-05 × 6371000     		dl = 444.249829999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75644594--0.75651567) × R
    6.97299999999901e-05 × 6371000     		dr = 444.249829999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24121848--0.24112261) × cos(-0.75644594) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.727279895916415 × 6371000     		do = 444.213665792738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24121848--0.24112261) × cos(-0.75651567) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.727232035591184 × 6371000     		du = 444.184433291419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75644594)-sin(-0.75651567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727279895916415-0.727232035591184)×R²
    abs(-0.24112261--0.24121848)×4.7860325231408e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.7860325231408e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.7860325231408e-05×40589641000000     		ar = 197335.352325151m²