Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30252 / 41467
↖ ↑ ↗
← S 43.048820°
W 13.820801°		 ← 446.35 m → S 43.048820°
W 13.815308°		 →
↑
446.35 m
↓
↑
446.35 m
↓
S 43.052834°
W 13.820801°		 ← 446.32 m →
199 221 m²		 S 43.052834°
W 13.815308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461616516113281 y=0.632743835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461616516113281 × 216)
    floor (0.461616516113281 × 65536)
    floor (30252.5)     		tx = 30252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632743835449219 × 216)
    floor (0.632743835449219 × 65536)
    floor (41467.5)     		ty = 41467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30252 / 41467 ti = "16/30252/41467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30252/41467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30252 ÷ 216
    30252 ÷ 65536     		x = 0.46160888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41467 ÷ 216
    41467 ÷ 65536     		y = 0.632736206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.0767822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24121848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632736206054688 × 2 - 1) × π
    -0.265472412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.834006179589737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24121848} λ = -0.24121848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834006179589737))-π/2
    2×atan(0.434305889083488)-π/2
    2×0.409726341131152-π/2
    0.819452682262305-1.57079632675     		φ = -0.75134364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24121848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75134364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.048820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30252 KachelY 41467 -0.24121848 -0.75134364 -13.820801 -43.048820
    Oben rechts KachelX + 1 30253 KachelY 41467 -0.24112261 -0.75134364 -13.815308 -43.048820
    Unten links KachelX 30252 KachelY + 1 41468 -0.24121848 -0.75141370 -13.820801 -43.052834
    Unten rechts KachelX + 1 30253 KachelY + 1 41468 -0.24112261 -0.75141370 -13.815308 -43.052834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75134364--0.75141370) × R
    7.00599999999829e-05 × 6371000     		dl = 446.352259999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75134364--0.75141370) × R
    7.00599999999829e-05 × 6371000     		dr = 446.352259999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24121848--0.24112261) × cos(-0.75134364) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.730772331561986 × 6371000     		do = 446.346802772565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24121848--0.24112261) × cos(-0.75141370) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.730724505322326 × 6371000     		du = 446.317591090296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75134364)-sin(-0.75141370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730772331561986-0.730724505322326)×R²
    abs(-0.24112261--0.24121848)×4.78262396597096e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.78262396597096e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.78262396597096e-05×40589641000000     		ar = 199221.384892211m²