Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30252 / 29980
↖ ↑ ↗
← S 81.563523°
E152.358399°		 ← 179.22 m → S 81.563523°
E152.369385°		 →
↑
179.22 m
↓
↑
179.22 m
↓
S 81.565135°
E152.358399°		 ← 179.19 m →
32 116 m²		 S 81.565135°
E152.369385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.923233032226562 y=0.914932250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.923233032226562 × 215)
    floor (0.923233032226562 × 32768)
    floor (30252.5)     		tx = 30252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914932250976562 × 215)
    floor (0.914932250976562 × 32768)
    floor (29980.5)     		ty = 29980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30252 / 29980 ti = "15/30252/29980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30252/29980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30252 ÷ 215
    30252 ÷ 32768     		x = 0.9232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29980 ÷ 215
    29980 ÷ 32768     		y = 0.9149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9232177734375 × 2 - 1) × π
    0.846435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65915570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60700034893713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65915570} λ = 2.65915570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60700034893713))-π/2
    2×atan(0.0737554528949262)-π/2
    2×0.0736221477751483-π/2
    0.147244295550297-1.57079632675     		φ = -1.42355203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65915570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.358399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42355203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.563523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30252 KachelY 29980 2.65915570 -1.42355203 152.358399 -81.563523
    Oben rechts KachelX + 1 30253 KachelY 29980 2.65934744 -1.42355203 152.369385 -81.563523
    Unten links KachelX 30252 KachelY + 1 29981 2.65915570 -1.42358016 152.358399 -81.565135
    Unten rechts KachelX + 1 30253 KachelY + 1 29981 2.65934744 -1.42358016 152.369385 -81.565135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42355203--1.42358016) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dl = 179.216230000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42355203--1.42358016) × R
    2.81300000000151e-05 × 6371000     		dr = 179.216230000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65915570-2.65934744) × cos(-1.42355203) × R
    0.000191739999999996 × 0.146712808884839 × 6371000     		do = 179.22077873841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65915570-2.65934744) × cos(-1.42358016) × R
    0.000191739999999996 × 0.146684983217862 × 6371000     		du = 179.186787584247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42355203)-sin(-1.42358016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146712808884839-0.146684983217862)×R²
    abs(2.65934744-2.65915570)×2.78256669767885e-05×R²
    0.000191739999999996×2.78256669767885e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.78256669767885e-05×40589641000000     		ar = 32116.2264220575m²