Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30252 / 22045
↖ ↑ ↗
← N 75.825678°
W 96.910401°		 ← 74.79 m → N 75.825678°
W 96.907654°		 →
↑
74.80 m
↓
↑
74.80 m
↓
N 75.825005°
W 96.910401°		 ← 74.79 m →
5 594 m²		 N 75.825005°
W 96.907654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230808258056641 y=0.168193817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230808258056641 × 217)
    floor (0.230808258056641 × 131072)
    floor (30252.5)     		tx = 30252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168193817138672 × 217)
    floor (0.168193817138672 × 131072)
    floor (22045.5)     		ty = 22045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30252 / 22045 ti = "17/30252/22045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30252/22045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30252 ÷ 217
    30252 ÷ 131072     		x = 0.230804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22045 ÷ 217
    22045 ÷ 131072     		y = 0.168190002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.53839111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.69140557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168190002441406 × 2 - 1) × π
    0.663619995117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.08482370137586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69140557} λ = -1.69140557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08482370137586))-π/2
    2×atan(8.04317335629817)-π/2
    2×1.44710202693673-π/2
    2.89420405387346-1.57079632675     		φ = 1.32340773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69140557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.910401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32340773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.825678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30252 KachelY 22045 -1.69140557 1.32340773 -96.910401 75.825678
    Oben rechts KachelX + 1 30253 KachelY 22045 -1.69135763 1.32340773 -96.907654 75.825678
    Unten links KachelX 30252 KachelY + 1 22046 -1.69140557 1.32339599 -96.910401 75.825005
    Unten rechts KachelX + 1 30253 KachelY + 1 22046 -1.69135763 1.32339599 -96.907654 75.825005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32340773-1.32339599) × R
    1.17399999999268e-05 × 6371000     		dl = 74.7955399995337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32340773-1.32339599) × R
    1.17399999999268e-05 × 6371000     		dr = 74.7955399995337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69140557--1.69135763) × cos(1.32340773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244872897550675 × 6371000     		do = 74.7904859403101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69140557--1.69135763) × cos(1.32339599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244884280111716 × 6371000     		du = 74.793962467439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32340773)-sin(1.32339599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244872897550675-0.244884280111716)×R²
    abs(-1.69135763--1.69140557)×1.13825610405516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13825610405516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13825610405516e-05×40589641000000     		ar = 5594.1247971872m²