Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30251 / 42073
↖ ↑ ↗
← S 45.433154°
W 13.826294°		 ← 428.61 m → S 45.433154°
W 13.820801°		 →
↑
428.64 m
↓
↑
428.64 m
↓
S 45.437008°
W 13.826294°		 ← 428.59 m →
183 716 m²		 S 45.437008°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461601257324219 y=0.641990661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461601257324219 × 216)
    floor (0.461601257324219 × 65536)
    floor (30251.5)     		tx = 30251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641990661621094 × 216)
    floor (0.641990661621094 × 65536)
    floor (42073.5)     		ty = 42073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30251 / 42073 ti = "16/30251/42073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30251/42073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30251 ÷ 216
    30251 ÷ 65536     		x = 0.461593627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42073 ÷ 216
    42073 ÷ 65536     		y = 0.641983032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461593627929688 × 2 - 1) × π
    -0.076812744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24131435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641983032226562 × 2 - 1) × π
    -0.283966064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.892105701929245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24131435} λ = -0.24131435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892105701929245))-π/2
    2×atan(0.409791943922655)-π/2
    2×0.38891910309535-π/2
    0.7778382061907-1.57079632675     		φ = -0.79295812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24131435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.826294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79295812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.433154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30251 KachelY 42073 -0.24131435 -0.79295812 -13.826294 -45.433154
    Oben rechts KachelX + 1 30252 KachelY 42073 -0.24121848 -0.79295812 -13.820801 -45.433154
    Unten links KachelX 30251 KachelY + 1 42074 -0.24131435 -0.79302540 -13.826294 -45.437008
    Unten rechts KachelX + 1 30252 KachelY + 1 42074 -0.24121848 -0.79302540 -13.820801 -45.437008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79295812--0.79302540) × R
    6.72800000000029e-05 × 6371000     		dl = 428.640880000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79295812--0.79302540) × R
    6.72800000000029e-05 × 6371000     		dr = 428.640880000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24131435--0.24121848) × cos(-0.79295812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701740929006809 × 6371000     		do = 428.614777145788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24131435--0.24121848) × cos(-0.79302540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701692994978812 × 6371000     		du = 428.58549962772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79295812)-sin(-0.79302540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701740929006809-0.701692994978812)×R²
    abs(-0.24121848--0.24131435)×4.79340279969653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79340279969653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79340279969653e-05×40589641000000     		ar = 183715.54055537m²