Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30251 / 41758
↖ ↑ ↗
← S 44.205835°
W 13.826294°		 ← 437.84 m → S 44.205835°
W 13.820801°		 →
↑
437.82 m
↓
↑
437.82 m
↓
S 44.209772°
W 13.826294°		 ← 437.81 m →
191 685 m²		 S 44.209772°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461601257324219 y=0.637184143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461601257324219 × 216)
    floor (0.461601257324219 × 65536)
    floor (30251.5)     		tx = 30251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637184143066406 × 216)
    floor (0.637184143066406 × 65536)
    floor (41758.5)     		ty = 41758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30251 / 41758 ti = "16/30251/41758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30251/41758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30251 ÷ 216
    30251 ÷ 65536     		x = 0.461593627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41758 ÷ 216
    41758 ÷ 65536     		y = 0.637176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461593627929688 × 2 - 1) × π
    -0.076812744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24131435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.27435302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.86190545516861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24131435} λ = -0.24131435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86190545516861))-π/2
    2×atan(0.422356533653)-π/2
    2×0.399629478725513-π/2
    0.799258957451025-1.57079632675     		φ = -0.77153737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24131435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.826294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77153737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.205835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30251 KachelY 41758 -0.24131435 -0.77153737 -13.826294 -44.205835
    Oben rechts KachelX + 1 30252 KachelY 41758 -0.24121848 -0.77153737 -13.820801 -44.205835
    Unten links KachelX 30251 KachelY + 1 41759 -0.24131435 -0.77160609 -13.826294 -44.209772
    Unten rechts KachelX + 1 30252 KachelY + 1 41759 -0.24121848 -0.77160609 -13.820801 -44.209772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77153737--0.77160609) × R
    6.87200000000221e-05 × 6371000     		dl = 437.815120000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77153737--0.77160609) × R
    6.87200000000221e-05 × 6371000     		dr = 437.815120000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24131435--0.24121848) × cos(-0.77153737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.716839604207606 × 6371000     		do = 437.836863301637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24131435--0.24121848) × cos(-0.77160609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.716791688312119 × 6371000     		du = 437.807596858685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77153737)-sin(-0.77160609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716839604207606-0.716791688312119)×R²
    abs(-0.24121848--0.24131435)×4.79158954872494e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79158954872494e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79158954872494e-05×40589641000000     		ar = 191685.192276653m²