Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30251 / 20007
↖ ↑ ↗
← N 57.210685°
W 13.826294°		 ← 330.77 m → N 57.210685°
W 13.820801°		 →
↑
330.78 m
↓
↑
330.78 m
↓
N 57.207710°
W 13.826294°		 ← 330.80 m →
109 418 m²		 N 57.207710°
W 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461601257324219 y=0.305290222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461601257324219 × 216)
    floor (0.461601257324219 × 65536)
    floor (30251.5)     		tx = 30251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305290222167969 × 216)
    floor (0.305290222167969 × 65536)
    floor (20007.5)     		ty = 20007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30251 / 20007 ti = "16/30251/20007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30251/20007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30251 ÷ 216
    30251 ÷ 65536     		x = 0.461593627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20007 ÷ 216
    20007 ÷ 65536     		y = 0.305282592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461593627929688 × 2 - 1) × π
    -0.076812744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24131435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305282592773438 × 2 - 1) × π
    0.389434814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22344555210307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24131435} λ = -0.24131435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22344555210307))-π/2
    2×atan(3.39887859460976)-π/2
    2×1.28465557409746-π/2
    2.56931114819493-1.57079632675     		φ = 0.99851482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24131435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.826294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99851482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.210685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30251 KachelY 20007 -0.24131435 0.99851482 -13.826294 57.210685
    Oben rechts KachelX + 1 30252 KachelY 20007 -0.24121848 0.99851482 -13.820801 57.210685
    Unten links KachelX 30251 KachelY + 1 20008 -0.24131435 0.99846290 -13.826294 57.207710
    Unten rechts KachelX + 1 30252 KachelY + 1 20008 -0.24121848 0.99846290 -13.820801 57.207710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99851482-0.99846290) × R
    5.19199999999831e-05 × 6371000     		dl = 330.782319999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99851482-0.99846290) × R
    5.19199999999831e-05 × 6371000     		dr = 330.782319999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24131435--0.24121848) × cos(0.99851482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.541551445397522 × 6371000     		do = 330.772999674622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24131435--0.24121848) × cos(0.99846290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.541595092129933 × 6371000     		du = 330.799658564979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99851482)-sin(0.99846290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541551445397522-0.541595092129933)×R²
    abs(-0.24121848--0.24131435)×4.36467324109735e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36467324109735e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36467324109735e-05×40589641000000     		ar = 109418.269394732m²