Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30250 / 41701
↖ ↑ ↗
← S 43.980958°
W 13.831787°		 ← 439.55 m → S 43.980958°
W 13.826294°		 →
↑
439.47 m
↓
↑
439.47 m
↓
S 43.984910°
W 13.831787°		 ← 439.52 m →
193 164 m²		 S 43.984910°
W 13.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461585998535156 y=0.636314392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461585998535156 × 216)
    floor (0.461585998535156 × 65536)
    floor (30250.5)     		tx = 30250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636314392089844 × 216)
    floor (0.636314392089844 × 65536)
    floor (41701.5)     		ty = 41701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30250 / 41701 ti = "16/30250/41701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30250/41701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30250 ÷ 216
    30250 ÷ 65536     		x = 0.461578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41701 ÷ 216
    41701 ÷ 65536     		y = 0.636306762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.07684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24141023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636306762695312 × 2 - 1) × π
    -0.272613525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.856440648611923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24141023} λ = -0.24141023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856440648611923))-π/2
    2×atan(0.424670948562426)-π/2
    2×0.401591904901275-π/2
    0.803183809802551-1.57079632675     		φ = -0.76761252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24141023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76761252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.980958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30250 KachelY 41701 -0.24141023 -0.76761252 -13.831787 -43.980958
    Oben rechts KachelX + 1 30251 KachelY 41701 -0.24131435 -0.76761252 -13.826294 -43.980958
    Unten links KachelX 30250 KachelY + 1 41702 -0.24141023 -0.76768150 -13.831787 -43.984910
    Unten rechts KachelX + 1 30251 KachelY + 1 41702 -0.24131435 -0.76768150 -13.826294 -43.984910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76761252--0.76768150) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dl = 439.471579999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76761252--0.76768150) × R
    6.89799999999963e-05 × 6371000     		dr = 439.471579999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24141023--0.24131435) × cos(-0.76761252) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.719570630925293 × 6371000     		do = 439.550784865215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24141023--0.24131435) × cos(-0.76768150) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.719522728172908 × 6371000     		du = 439.521523398025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76761252)-sin(-0.76768150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719570630925293-0.719522728172908)×R²
    abs(-0.24131435--0.24141023)×4.79027523848652e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79027523848652e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79027523848652e-05×40589641000000     		ar = 193163.648199858m²