Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30250 / 41513
↖ ↑ ↗
← S 43.233197°
W 13.831787°		 ← 445.05 m → S 43.233197°
W 13.826294°		 →
↑
445.01 m
↓
↑
445.01 m
↓
S 43.237199°
W 13.831787°		 ← 445.02 m →
198 047 m²		 S 43.237199°
W 13.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461585998535156 y=0.633445739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461585998535156 × 216)
    floor (0.461585998535156 × 65536)
    floor (30250.5)     		tx = 30250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633445739746094 × 216)
    floor (0.633445739746094 × 65536)
    floor (41513.5)     		ty = 41513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30250 / 41513 ti = "16/30250/41513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30250/41513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30250 ÷ 216
    30250 ÷ 65536     		x = 0.461578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41513 ÷ 216
    41513 ÷ 65536     		y = 0.633438110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.07684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24141023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633438110351562 × 2 - 1) × π
    -0.266876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.838416374354782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24141023} λ = -0.24141023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838416374354782))-π/2
    2×atan(0.432394732908139)-π/2
    2×0.408117342919654-π/2
    0.816234685839308-1.57079632675     		φ = -0.75456164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24141023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75456164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.233197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30250 KachelY 41513 -0.24141023 -0.75456164 -13.831787 -43.233197
    Oben rechts KachelX + 1 30251 KachelY 41513 -0.24131435 -0.75456164 -13.826294 -43.233197
    Unten links KachelX 30250 KachelY + 1 41514 -0.24141023 -0.75463149 -13.831787 -43.237199
    Unten rechts KachelX + 1 30251 KachelY + 1 41514 -0.24131435 -0.75463149 -13.826294 -43.237199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75456164--0.75463149) × R
    6.98499999999269e-05 × 6371000     		dl = 445.014349999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75456164--0.75463149) × R
    6.98499999999269e-05 × 6371000     		dr = 445.014349999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24141023--0.24131435) × cos(-0.75456164) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.728571876341716 × 6371000     		do = 445.04920894968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24141023--0.24131435) × cos(-0.75463149) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.72852402945476 × 6371000     		du = 445.019981607969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75456164)-sin(-0.75463149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728571876341716-0.72852402945476)×R²
    abs(-0.24131435--0.24141023)×4.78468869564708e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78468869564708e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78468869564708e-05×40589641000000     		ar = 198046.78122614m²