Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30249 / 41700
↖ ↑ ↗
← S 43.977005°
W 13.837280°		 ← 439.53 m → S 43.977005°
W 13.831787°		 →
↑
439.54 m
↓
↑
439.54 m
↓
S 43.980958°
W 13.837280°		 ← 439.50 m →
193 184 m²		 S 43.980958°
W 13.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461570739746094 y=0.636299133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461570739746094 × 216)
    floor (0.461570739746094 × 65536)
    floor (30249.5)     		tx = 30249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636299133300781 × 216)
    floor (0.636299133300781 × 65536)
    floor (41700.5)     		ty = 41700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30249 / 41700 ti = "16/30249/41700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30249/41700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30249 ÷ 216
    30249 ÷ 65536     		x = 0.461563110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41700 ÷ 216
    41700 ÷ 65536     		y = 0.63629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461563110351562 × 2 - 1) × π
    -0.076873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24150610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63629150390625 × 2 - 1) × π
    -0.2725830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.856344774812683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24150610} λ = -0.24150610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856344774812683))-π/2
    2×atan(0.424711665331496)-π/2
    2×0.401626400034724-π/2
    0.803252800069448-1.57079632675     		φ = -0.76754353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24150610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.837280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76754353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.977005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30249 KachelY 41700 -0.24150610 -0.76754353 -13.837280 -43.977005
    Oben rechts KachelX + 1 30250 KachelY 41700 -0.24141023 -0.76754353 -13.831787 -43.977005
    Unten links KachelX 30249 KachelY + 1 41701 -0.24150610 -0.76761252 -13.837280 -43.980958
    Unten rechts KachelX + 1 30250 KachelY + 1 41701 -0.24141023 -0.76761252 -13.831787 -43.980958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76754353--0.76761252) × R
    6.89900000000465e-05 × 6371000     		dl = 439.535290000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76754353--0.76761252) × R
    6.89900000000465e-05 × 6371000     		dr = 439.535290000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24150610--0.24141023) × cos(-0.76754353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719618537197484 × 6371000     		do = 439.534201585504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24150610--0.24141023) × cos(-0.76761252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719570630925293 × 6371000     		du = 439.504941020343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76754353)-sin(-0.76761252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719618537197484-0.719570630925293)×R²
    abs(-0.24141023--0.24150610)×4.79062721910894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79062721910894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79062721910894e-05×40589641000000     		ar = 193184.362309839m²