Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30248 / 20056
↖ ↑ ↗
← N 57.064630°
W 13.842773°		 ← 332.08 m → N 57.064630°
W 13.837280°		 →
↑
332.06 m
↓
↑
332.06 m
↓
N 57.061644°
W 13.842773°		 ← 332.11 m →
110 274 m²		 N 57.061644°
W 13.837280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461555480957031 y=0.306037902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461555480957031 × 216)
    floor (0.461555480957031 × 65536)
    floor (30248.5)     		tx = 30248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306037902832031 × 216)
    floor (0.306037902832031 × 65536)
    floor (20056.5)     		ty = 20056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30248 / 20056 ti = "16/30248/20056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30248/20056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30248 ÷ 216
    30248 ÷ 65536     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20056 ÷ 216
    20056 ÷ 65536     		y = 0.3060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3060302734375 × 2 - 1) × π
    0.387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21874773594031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21874773594031))-π/2
    2×atan(3.38294873488593)-π/2
    2×1.28338100573895-π/2
    2.5667620114779-1.57079632675     		φ = 0.99596568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99596568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.064630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30248 KachelY 20056 -0.24160197 0.99596568 -13.842773 57.064630
    Oben rechts KachelX + 1 30249 KachelY 20056 -0.24150610 0.99596568 -13.837280 57.064630
    Unten links KachelX 30248 KachelY + 1 20057 -0.24160197 0.99591356 -13.842773 57.061644
    Unten rechts KachelX + 1 30249 KachelY + 1 20057 -0.24150610 0.99591356 -13.837280 57.061644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99596568-0.99591356) × R
    5.21199999999888e-05 × 6371000     		dl = 332.056519999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99596568-0.99591356) × R
    5.21199999999888e-05 × 6371000     		dr = 332.056519999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24150610) × cos(0.99596568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.54369266297948 × 6371000     		do = 332.080829186591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24150610) × cos(0.99591356) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.543736405743427 × 6371000     		du = 332.107546731835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99596568)-sin(0.99591356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54369266297948-0.543736405743427)×R²
    abs(-0.24150610--0.24160197)×4.37427639465859e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37427639465859e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37427639465859e-05×40589641000000     		ar = 110274.040391087m²