Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30248 / 17022
↖ ↑ ↗
← N 65.076760°
W 13.842773°		 ← 257.39 m → N 65.076760°
W 13.837280°		 →
↑
257.39 m
↓
↑
257.39 m
↓
N 65.074445°
W 13.842773°		 ← 257.41 m →
66 252 m²		 N 65.074445°
W 13.837280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461555480957031 y=0.259742736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461555480957031 × 216)
    floor (0.461555480957031 × 65536)
    floor (30248.5)     		tx = 30248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259742736816406 × 216)
    floor (0.259742736816406 × 65536)
    floor (17022.5)     		ty = 17022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30248 / 17022 ti = "16/30248/17022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30248/17022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30248 ÷ 216
    30248 ÷ 65536     		x = 0.4615478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17022 ÷ 216
    17022 ÷ 65536     		y = 0.259735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.076904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24160197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259735107421875 × 2 - 1) × π
    0.48052978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50962884283481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24160197} λ = -0.24160197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50962884283481))-π/2
    2×atan(4.52505097750236)-π/2
    2×1.35330002911362-π/2
    2.70660005822723-1.57079632675     		φ = 1.13580373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24160197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13580373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.076760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30248 KachelY 17022 -0.24160197 1.13580373 -13.842773 65.076760
    Oben rechts KachelX + 1 30249 KachelY 17022 -0.24150610 1.13580373 -13.837280 65.076760
    Unten links KachelX 30248 KachelY + 1 17023 -0.24160197 1.13576333 -13.842773 65.074445
    Unten rechts KachelX + 1 30249 KachelY + 1 17023 -0.24150610 1.13576333 -13.837280 65.074445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13580373-1.13576333) × R
    4.03999999998295e-05 × 6371000     		dl = 257.388399998913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13580373-1.13576333) × R
    4.03999999998295e-05 × 6371000     		dr = 257.388399998913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24160197--0.24150610) × cos(1.13580373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421403687610175 × 6371000     		do = 257.38821862519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24160197--0.24150610) × cos(1.13576333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421440324942013 × 6371000     		du = 257.410596259402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13580373)-sin(1.13576333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421403687610175-0.421440324942013)×R²
    abs(-0.24150610--0.24160197)×3.66373318380631e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66373318380631e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66373318380631e-05×40589641000000     		ar = 66251.6216512457m²