Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30247 / 28196
↖ ↑ ↗
← N 24.347097°
W 13.848267°		 ← 556.53 m → N 24.347097°
W 13.842773°		 →
↑
556.51 m
↓
↑
556.51 m
↓
N 24.342092°
W 13.848267°		 ← 556.55 m →
309 716 m²		 N 24.342092°
W 13.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461540222167969 y=0.430244445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461540222167969 × 216)
    floor (0.461540222167969 × 65536)
    floor (30247.5)     		tx = 30247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430244445800781 × 216)
    floor (0.430244445800781 × 65536)
    floor (28196.5)     		ty = 28196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30247 / 28196 ti = "16/30247/28196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30247/28196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30247 ÷ 216
    30247 ÷ 65536     		x = 0.461532592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28196 ÷ 216
    28196 ÷ 65536     		y = 0.43023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461532592773438 × 2 - 1) × π
    -0.076934814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24169785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43023681640625 × 2 - 1) × π
    0.1395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.438335010125793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24169785} λ = -0.24169785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438335010125793))-π/2
    2×atan(1.55012412772165)-π/2
    2×0.997866663172335-π/2
    1.99573332634467-1.57079632675     		φ = 0.42493700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24169785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.848267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42493700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.347097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30247 KachelY 28196 -0.24169785 0.42493700 -13.848267 24.347097
    Oben rechts KachelX + 1 30248 KachelY 28196 -0.24160197 0.42493700 -13.842773 24.347097
    Unten links KachelX 30247 KachelY + 1 28197 -0.24169785 0.42484965 -13.848267 24.342092
    Unten rechts KachelX + 1 30248 KachelY + 1 28197 -0.24160197 0.42484965 -13.842773 24.342092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42493700-0.42484965) × R
    8.7349999999986e-05 × 6371000     		dl = 556.506849999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42493700-0.42484965) × R
    8.7349999999986e-05 × 6371000     		dr = 556.506849999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24169785--0.24160197) × cos(0.42493700) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.91106470735531 × 6371000     		do = 556.525224863715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24169785--0.24160197) × cos(0.42484965) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911100715086264 × 6371000     		du = 556.54722023946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42493700)-sin(0.42484965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91106470735531-0.911100715086264)×R²
    abs(-0.24160197--0.24169785)×3.60077309542461e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.60077309542461e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.60077309542461e-05×40589641000000     		ar = 309716.220319908m²