Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30246 / 17258
↖ ↑ ↗
← N 64.524823°
W 13.853760°		 ← 262.71 m → N 64.524823°
W 13.848267°		 →
↑
262.74 m
↓
↑
262.74 m
↓
N 64.522460°
W 13.853760°		 ← 262.73 m →
69 028 m²		 N 64.522460°
W 13.848267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461524963378906 y=0.263343811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461524963378906 × 216)
    floor (0.461524963378906 × 65536)
    floor (30246.5)     		tx = 30246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263343811035156 × 216)
    floor (0.263343811035156 × 65536)
    floor (17258.5)     		ty = 17258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30246 / 17258 ti = "16/30246/17258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30246/17258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30246 ÷ 216
    30246 ÷ 65536     		x = 0.461517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17258 ÷ 216
    17258 ÷ 65536     		y = 0.263336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.07696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24179372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263336181640625 × 2 - 1) × π
    0.47332763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48700262621414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24179372} λ = -0.24179372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48700262621414))-π/2
    2×atan(4.42381579729688)-π/2
    2×1.3484834701695-π/2
    2.69696694033901-1.57079632675     		φ = 1.12617061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24179372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.853760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12617061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.524823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30246 KachelY 17258 -0.24179372 1.12617061 -13.853760 64.524823
    Oben rechts KachelX + 1 30247 KachelY 17258 -0.24169785 1.12617061 -13.848267 64.524823
    Unten links KachelX 30246 KachelY + 1 17259 -0.24179372 1.12612937 -13.853760 64.522460
    Unten rechts KachelX + 1 30247 KachelY + 1 17259 -0.24169785 1.12612937 -13.848267 64.522460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12617061-1.12612937) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dl = 262.740040000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12617061-1.12612937) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dr = 262.740040000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24179372--0.24169785) × cos(1.12617061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430120018145018 × 6371000     		do = 262.712046715149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24179372--0.24169785) × cos(1.12612937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430157248084787 × 6371000     		du = 262.734786307038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12617061)-sin(1.12612937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430120018145018-0.430157248084787)×R²
    abs(-0.24169785--0.24179372)×3.72299397688458e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72299397688458e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72299397688458e-05×40589641000000     		ar = 69027.9609730442m²