Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30245 / 41421
↖ ↑ ↗
← S 42.863887°
W 13.859253°		 ← 447.74 m → S 42.863887°
W 13.853760°		 →
↑
447.69 m
↓
↑
447.69 m
↓
S 42.867913°
W 13.859253°		 ← 447.71 m →
200 441 m²		 S 42.867913°
W 13.853760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461509704589844 y=0.632041931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461509704589844 × 216)
    floor (0.461509704589844 × 65536)
    floor (30245.5)     		tx = 30245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632041931152344 × 216)
    floor (0.632041931152344 × 65536)
    floor (41421.5)     		ty = 41421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30245 / 41421 ti = "16/30245/41421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30245/41421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30245 ÷ 216
    30245 ÷ 65536     		x = 0.461502075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41421 ÷ 216
    41421 ÷ 65536     		y = 0.632034301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461502075195312 × 2 - 1) × π
    -0.076995849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24188960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632034301757812 × 2 - 1) × π
    -0.264068603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.829595984824692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24188960} λ = -0.24188960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829595984824692))-π/2
    2×atan(0.436225492442969)-π/2
    2×0.411340190506069-π/2
    0.822680381012137-1.57079632675     		φ = -0.74811595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24188960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.859253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74811595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.863887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30245 KachelY 41421 -0.24188960 -0.74811595 -13.859253 -42.863887
    Oben rechts KachelX + 1 30246 KachelY 41421 -0.24179372 -0.74811595 -13.853760 -42.863887
    Unten links KachelX 30245 KachelY + 1 41422 -0.24188960 -0.74818622 -13.859253 -42.867913
    Unten rechts KachelX + 1 30246 KachelY + 1 41422 -0.24179372 -0.74818622 -13.853760 -42.867913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74811595--0.74818622) × R
    7.02700000000389e-05 × 6371000     		dl = 447.690170000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74811595--0.74818622) × R
    7.02700000000389e-05 × 6371000     		dr = 447.690170000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24188960--0.24179372) × cos(-0.74811595) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.732971811002611 × 6371000     		do = 447.736915549321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24188960--0.24179372) × cos(-0.74818622) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.732924007392172 × 6371000     		du = 447.707714643134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74811595)-sin(-0.74818622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732971811002611-0.732924007392172)×R²
    abs(-0.24179372--0.24188960)×4.78036104395452e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.78036104395452e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.78036104395452e-05×40589641000000     		ar = 200440.879440891m²