Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30244 / 41452
↖ ↑ ↗
← S 42.988576°
W 13.864746°		 ← 446.78 m → S 42.988576°
W 13.859253°		 →
↑
446.80 m
↓
↑
446.80 m
↓
S 42.992595°
W 13.864746°		 ← 446.76 m →
199 616 m²		 S 42.992595°
W 13.859253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461494445800781 y=0.632514953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461494445800781 × 216)
    floor (0.461494445800781 × 65536)
    floor (30244.5)     		tx = 30244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632514953613281 × 216)
    floor (0.632514953613281 × 65536)
    floor (41452.5)     		ty = 41452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30244 / 41452 ti = "16/30244/41452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30244/41452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30244 ÷ 216
    30244 ÷ 65536     		x = 0.46148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41452 ÷ 216
    41452 ÷ 65536     		y = 0.63250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.0770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24198547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63250732421875 × 2 - 1) × π
    -0.2650146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.832568072601135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24198547} λ = -0.24198547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832568072601135))-π/2
    2×atan(0.434930916738368)-π/2
    2×0.410252063434632-π/2
    0.820504126869265-1.57079632675     		φ = -0.75029220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24198547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75029220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.988576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30244 KachelY 41452 -0.24198547 -0.75029220 -13.864746 -42.988576
    Oben rechts KachelX + 1 30245 KachelY 41452 -0.24188960 -0.75029220 -13.859253 -42.988576
    Unten links KachelX 30244 KachelY + 1 41453 -0.24198547 -0.75036233 -13.864746 -42.992595
    Unten rechts KachelX + 1 30245 KachelY + 1 41453 -0.24188960 -0.75036233 -13.859253 -42.992595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75029220--0.75036233) × R
    7.01300000000016e-05 × 6371000     		dl = 446.79823000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75029220--0.75036233) × R
    7.01300000000016e-05 × 6371000     		dr = 446.79823000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24198547--0.24188960) × cos(-0.75029220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.731489662794871 × 6371000     		do = 446.784939916522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24198547--0.24188960) × cos(-0.75036233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.731441842678141 × 6371000     		du = 446.755731974063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75029220)-sin(-0.75036233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731489662794871-0.731441842678141)×R²
    abs(-0.24188960--0.24198547)×4.78201167307679e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78201167307679e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78201167307679e-05×40589641000000     		ar = 199616.195398533m²