Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30244 / 40412
↖ ↑ ↗
← S 38.668356°
W 13.864746°		 ← 476.89 m → S 38.668356°
W 13.859253°		 →
↑
476.87 m
↓
↑
476.87 m
↓
S 38.672645°
W 13.864746°		 ← 476.86 m →
227 407 m²		 S 38.672645°
W 13.859253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461494445800781 y=0.616645812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461494445800781 × 216)
    floor (0.461494445800781 × 65536)
    floor (30244.5)     		tx = 30244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616645812988281 × 216)
    floor (0.616645812988281 × 65536)
    floor (40412.5)     		ty = 40412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30244 / 40412 ti = "16/30244/40412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30244/40412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30244 ÷ 216
    30244 ÷ 65536     		x = 0.46148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40412 ÷ 216
    40412 ÷ 65536     		y = 0.61663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.0770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24198547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.2332763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.732859321391419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24198547} λ = -0.24198547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732859321391419))-π/2
    2×atan(0.480533025506063)-π/2
    2×0.447953098253087-π/2
    0.895906196506175-1.57079632675     		φ = -0.67489013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24198547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67489013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.668356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30244 KachelY 40412 -0.24198547 -0.67489013 -13.864746 -38.668356
    Oben rechts KachelX + 1 30245 KachelY 40412 -0.24188960 -0.67489013 -13.859253 -38.668356
    Unten links KachelX 30244 KachelY + 1 40413 -0.24198547 -0.67496498 -13.864746 -38.672645
    Unten rechts KachelX + 1 30245 KachelY + 1 40413 -0.24188960 -0.67496498 -13.859253 -38.672645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67489013--0.67496498) × R
    7.48500000000707e-05 × 6371000     		dl = 476.86935000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67489013--0.67496498) × R
    7.48500000000707e-05 × 6371000     		dr = 476.86935000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24198547--0.24188960) × cos(-0.67489013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780775603888378 × 6371000     		do = 476.888189969375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24198547--0.24188960) × cos(-0.67496498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780728834557745 × 6371000     		du = 476.859623834213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67489013)-sin(-0.67496498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780775603888378-0.780728834557745)×R²
    abs(-0.24188960--0.24198547)×4.67693306335226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67693306335226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67693306335226e-05×40589641000000     		ar = 227406.550122419m²