Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30243 / 41247
↖ ↑ ↗
← S 42.159332°
W 13.870239°		 ← 452.77 m → S 42.159332°
W 13.864746°		 →
↑
452.72 m
↓
↑
452.72 m
↓
S 42.163403°
W 13.870239°		 ← 452.74 m →
204 971 m²		 S 42.163403°
W 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461479187011719 y=0.629386901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461479187011719 × 216)
    floor (0.461479187011719 × 65536)
    floor (30243.5)     		tx = 30243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629386901855469 × 216)
    floor (0.629386901855469 × 65536)
    floor (41247.5)     		ty = 41247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30243 / 41247 ti = "16/30243/41247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30243/41247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30243 ÷ 216
    30243 ÷ 65536     		x = 0.461471557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41247 ÷ 216
    41247 ÷ 65536     		y = 0.629379272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461471557617188 × 2 - 1) × π
    -0.077056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24208134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629379272460938 × 2 - 1) × π
    -0.258758544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.812913943756912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24208134} λ = -0.24208134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812913943756912))-π/2
    2×atan(0.443563661665105)-π/2
    2×0.417488590185305-π/2
    0.83497718037061-1.57079632675     		φ = -0.73581915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24208134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.870239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73581915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.159332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30243 KachelY 41247 -0.24208134 -0.73581915 -13.870239 -42.159332
    Oben rechts KachelX + 1 30244 KachelY 41247 -0.24198547 -0.73581915 -13.864746 -42.159332
    Unten links KachelX 30243 KachelY + 1 41248 -0.24208134 -0.73589021 -13.870239 -42.163403
    Unten rechts KachelX + 1 30244 KachelY + 1 41248 -0.24198547 -0.73589021 -13.864746 -42.163403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73581915--0.73589021) × R
    7.10600000000117e-05 × 6371000     		dl = 452.723260000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73581915--0.73589021) × R
    7.10600000000117e-05 × 6371000     		dr = 452.723260000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(-0.73581915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741281193108522 × 6371000     		do = 452.765486881684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(-0.73589021) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741233496148639 × 6371000     		du = 452.736354161921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73581915)-sin(-0.73589021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741281193108522-0.741233496148639)×R²
    abs(-0.24198547--0.24208134)×4.76969598829369e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76969598829369e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76969598829369e-05×40589641000000     		ar = 204970.872792636m²