Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30243 / 41231
↖ ↑ ↗
← S 42.094146°
W 13.870239°		 ← 453.23 m → S 42.094146°
W 13.864746°		 →
↑
453.23 m
↓
↑
453.23 m
↓
S 42.098222°
W 13.870239°		 ← 453.20 m →
205 413 m²		 S 42.098222°
W 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461479187011719 y=0.629142761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461479187011719 × 216)
    floor (0.461479187011719 × 65536)
    floor (30243.5)     		tx = 30243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629142761230469 × 216)
    floor (0.629142761230469 × 65536)
    floor (41231.5)     		ty = 41231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30243 / 41231 ti = "16/30243/41231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30243/41231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30243 ÷ 216
    30243 ÷ 65536     		x = 0.461471557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41231 ÷ 216
    41231 ÷ 65536     		y = 0.629135131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461471557617188 × 2 - 1) × π
    -0.077056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24208134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629135131835938 × 2 - 1) × π
    -0.258270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81137996296907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24208134} λ = -0.24208134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81137996296907))-π/2
    2×atan(0.444244601941408)-π/2
    2×0.418057438411541-π/2
    0.836114876823081-1.57079632675     		φ = -0.73468145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24208134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.870239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73468145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.094146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30243 KachelY 41231 -0.24208134 -0.73468145 -13.870239 -42.094146
    Oben rechts KachelX + 1 30244 KachelY 41231 -0.24198547 -0.73468145 -13.864746 -42.094146
    Unten links KachelX 30243 KachelY + 1 41232 -0.24208134 -0.73475259 -13.870239 -42.098222
    Unten rechts KachelX + 1 30244 KachelY + 1 41232 -0.24198547 -0.73475259 -13.864746 -42.098222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73468145--0.73475259) × R
    7.11400000000806e-05 × 6371000     		dl = 453.232940000513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73468145--0.73475259) × R
    7.11400000000806e-05 × 6371000     		dr = 453.232940000513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(-0.73468145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742044331298839 × 6371000     		do = 453.231602355149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(-0.73475259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741996640664448 × 6371000     		du = 453.20247349892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73468145)-sin(-0.73475259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742044331298839-0.741996640664448)×R²
    abs(-0.24198547--0.24208134)×4.76906343910288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76906343910288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76906343910288e-05×40589641000000     		ar = 205412.890644403m²