Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30243 / 41229
↖ ↑ ↗
← S 42.085994°
W 13.870239°		 ← 453.29 m → S 42.085994°
W 13.864746°		 →
↑
453.30 m
↓
↑
453.30 m
↓
S 42.090070°
W 13.870239°		 ← 453.26 m →
205 468 m²		 S 42.090070°
W 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461479187011719 y=0.629112243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461479187011719 × 216)
    floor (0.461479187011719 × 65536)
    floor (30243.5)     		tx = 30243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629112243652344 × 216)
    floor (0.629112243652344 × 65536)
    floor (41229.5)     		ty = 41229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30243 / 41229 ti = "16/30243/41229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30243/41229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30243 ÷ 216
    30243 ÷ 65536     		x = 0.461471557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41229 ÷ 216
    41229 ÷ 65536     		y = 0.629104614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461471557617188 × 2 - 1) × π
    -0.077056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24208134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629104614257812 × 2 - 1) × π
    -0.258209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.81118821537059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24208134} λ = -0.24208134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81118821537059))-π/2
    2×atan(0.444329792944293)-π/2
    2×0.418128585593014-π/2
    0.836257171186029-1.57079632675     		φ = -0.73453916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24208134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.870239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73453916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.085994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30243 KachelY 41229 -0.24208134 -0.73453916 -13.870239 -42.085994
    Oben rechts KachelX + 1 30244 KachelY 41229 -0.24198547 -0.73453916 -13.864746 -42.085994
    Unten links KachelX 30243 KachelY + 1 41230 -0.24208134 -0.73461031 -13.870239 -42.090070
    Unten rechts KachelX + 1 30244 KachelY + 1 41230 -0.24198547 -0.73461031 -13.864746 -42.090070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73453916--0.73461031) × R
    7.11500000000198e-05 × 6371000     		dl = 453.296650000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73453916--0.73461031) × R
    7.11500000000198e-05 × 6371000     		dr = 453.296650000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(-0.73453916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742139708003597 × 6371000     		do = 453.289857279958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(-0.73461031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.742092018177818 × 6371000     		du = 453.260728917619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73453916)-sin(-0.73461031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742139708003597-0.742092018177818)×R²
    abs(-0.24198547--0.24208134)×4.76898257781855e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76898257781855e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76898257781855e-05×40589641000000     		ar = 205468.171976004m²