Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30243 / 29990
↖ ↑ ↗
← S 81.579626°
E152.259522°		 ← 178.88 m → S 81.579626°
E152.270508°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
S 81.581235°
E152.259522°		 ← 178.85 m →
31 998 m²		 S 81.581235°
E152.270508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922958374023438 y=0.915237426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922958374023438 × 215)
    floor (0.922958374023438 × 32768)
    floor (30243.5)     		tx = 30243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915237426757812 × 215)
    floor (0.915237426757812 × 32768)
    floor (29990.5)     		ty = 29990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30243 / 29990 ti = "15/30243/29990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30243/29990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30243 ÷ 215
    30243 ÷ 32768     		x = 0.922943115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29990 ÷ 215
    29990 ÷ 32768     		y = 0.91522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922943115234375 × 2 - 1) × π
    0.84588623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65742997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.8304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60891782492194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65742997} λ = 2.65742997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60891782492194))-π/2
    2×atan(0.0736141640874894)-π/2
    2×0.0734816219460439-π/2
    0.146963243892088-1.57079632675     		φ = -1.42383308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65742997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.259522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42383308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.579626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30243 KachelY 29990 2.65742997 -1.42383308 152.259522 -81.579626
    Oben rechts KachelX + 1 30244 KachelY 29990 2.65762171 -1.42383308 152.270508 -81.579626
    Unten links KachelX 30243 KachelY + 1 29991 2.65742997 -1.42386116 152.259522 -81.581235
    Unten rechts KachelX + 1 30244 KachelY + 1 29991 2.65762171 -1.42386116 152.270508 -81.581235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42383308--1.42386116) × R
    2.80799999998749e-05 × 6371000     		dl = 178.897679999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42383308--1.42386116) × R
    2.80799999998749e-05 × 6371000     		dr = 178.897679999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65742997-2.65762171) × cos(-1.42383308) × R
    0.000191739999999996 × 0.146434794299587 × 6371000     		do = 178.881162921303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65742997-2.65762171) × cos(-1.42386116) × R
    0.000191739999999996 × 0.146407016935139 × 6371000     		du = 178.847230772328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42383308)-sin(-1.42386116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146434794299587-0.146407016935139)×R²
    abs(2.65762171-2.65742997)×2.77773644478396e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77773644478396e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77773644478396e-05×40589641000000     		ar = 31998.3898531166m²