Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30243 / 29988
↖ ↑ ↗
← S 81.576408°
E152.259522°		 ← 178.95 m → S 81.576408°
E152.270508°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
S 81.578017°
E152.259522°		 ← 178.92 m →
32 011 m²		 S 81.578017°
E152.270508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922958374023438 y=0.915176391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922958374023438 × 215)
    floor (0.922958374023438 × 32768)
    floor (30243.5)     		tx = 30243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915176391601562 × 215)
    floor (0.915176391601562 × 32768)
    floor (29988.5)     		ty = 29988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30243 / 29988 ti = "15/30243/29988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30243/29988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30243 ÷ 215
    30243 ÷ 32768     		x = 0.922943115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29988 ÷ 215
    29988 ÷ 32768     		y = 0.9151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922943115234375 × 2 - 1) × π
    0.84588623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65742997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.830322265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60853432972498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65742997} λ = 2.65742997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60853432972498))-π/2
    2×atan(0.073642400179702)-π/2
    2×0.073509705792244-π/2
    0.147019411584488-1.57079632675     		φ = -1.42377692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65742997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.259522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42377692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.576408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30243 KachelY 29988 2.65742997 -1.42377692 152.259522 -81.576408
    Oben rechts KachelX + 1 30244 KachelY 29988 2.65762171 -1.42377692 152.270508 -81.576408
    Unten links KachelX 30243 KachelY + 1 29989 2.65742997 -1.42380500 152.259522 -81.578017
    Unten rechts KachelX + 1 30244 KachelY + 1 29989 2.65762171 -1.42380500 152.270508 -81.578017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42377692--1.42380500) × R
    2.80800000000969e-05 × 6371000     		dl = 178.897680000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42377692--1.42380500) × R
    2.80800000000969e-05 × 6371000     		dr = 178.897680000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65742997-2.65762171) × cos(-1.42377692) × R
    0.000191739999999996 × 0.146490348682076 × 6371000     		do = 178.949026796091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65742997-2.65762171) × cos(-1.42380500) × R
    0.000191739999999996 × 0.146462571548573 × 6371000     		du = 178.915094929233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42377692)-sin(-1.42380500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146490348682076-0.146462571548573)×R²
    abs(2.65762171-2.65742997)×2.77771335024657e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77771335024657e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77771335024657e-05×40589641000000     		ar = 32010.5305686701m²