Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30243 / 20511
↖ ↑ ↗
← N 55.680681°
W 13.870239°		 ← 344.36 m → N 55.680681°
W 13.864746°		 →
↑
344.35 m
↓
↑
344.35 m
↓
N 55.677585°
W 13.870239°		 ← 344.39 m →
118 588 m²		 N 55.677585°
W 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461479187011719 y=0.312980651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461479187011719 × 216)
    floor (0.461479187011719 × 65536)
    floor (30243.5)     		tx = 30243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312980651855469 × 216)
    floor (0.312980651855469 × 65536)
    floor (20511.5)     		ty = 20511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30243 / 20511 ti = "16/30243/20511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30243/20511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30243 ÷ 216
    30243 ÷ 65536     		x = 0.461471557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20511 ÷ 216
    20511 ÷ 65536     		y = 0.312973022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461471557617188 × 2 - 1) × π
    -0.077056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24208134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312973022460938 × 2 - 1) × π
    0.374053955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17512515728606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24208134} λ = -0.24208134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17512515728606))-π/2
    2×atan(3.23854824638343)-π/2
    2×1.27130377526555-π/2
    2.5426075505311-1.57079632675     		φ = 0.97181122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24208134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.870239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97181122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.680681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30243 KachelY 20511 -0.24208134 0.97181122 -13.870239 55.680681
    Oben rechts KachelX + 1 30244 KachelY 20511 -0.24198547 0.97181122 -13.864746 55.680681
    Unten links KachelX 30243 KachelY + 1 20512 -0.24208134 0.97175717 -13.870239 55.677585
    Unten rechts KachelX + 1 30244 KachelY + 1 20512 -0.24198547 0.97175717 -13.864746 55.677585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97181122-0.97175717) × R
    5.40500000000277e-05 × 6371000     		dl = 344.352550000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97181122-0.97175717) × R
    5.40500000000277e-05 × 6371000     		dr = 344.352550000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(0.97181122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563804555238159 × 6371000     		do = 344.364927009749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(0.97175717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563849194755044 × 6371000     		du = 344.392192280721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97181122)-sin(0.97175717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563804555238159-0.563849194755044)×R²
    abs(-0.24198547--0.24208134)×4.46395168851588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46395168851588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46395168851588e-05×40589641000000     		ar = 118587.635208058m²