Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30243 / 20070
↖ ↑ ↗
← N 57.022794°
W 13.870239°		 ← 332.46 m → N 57.022794°
W 13.864746°		 →
↑
332.50 m
↓
↑
332.50 m
↓
N 57.019804°
W 13.870239°		 ← 332.48 m →
110 547 m²		 N 57.019804°
W 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461479187011719 y=0.306251525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461479187011719 × 216)
    floor (0.461479187011719 × 65536)
    floor (30243.5)     		tx = 30243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306251525878906 × 216)
    floor (0.306251525878906 × 65536)
    floor (20070.5)     		ty = 20070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30243 / 20070 ti = "16/30243/20070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30243/20070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30243 ÷ 216
    30243 ÷ 65536     		x = 0.461471557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20070 ÷ 216
    20070 ÷ 65536     		y = 0.306243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461471557617188 × 2 - 1) × π
    -0.077056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24208134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306243896484375 × 2 - 1) × π
    0.38751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21740550275095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24208134} λ = -0.24208134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21740550275095))-π/2
    2×atan(3.37841107479629)-π/2
    2×1.28301591900617-π/2
    2.56603183801234-1.57079632675     		φ = 0.99523551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24208134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.870239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99523551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.022794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30243 KachelY 20070 -0.24208134 0.99523551 -13.870239 57.022794
    Oben rechts KachelX + 1 30244 KachelY 20070 -0.24198547 0.99523551 -13.864746 57.022794
    Unten links KachelX 30243 KachelY + 1 20071 -0.24208134 0.99518332 -13.870239 57.019804
    Unten rechts KachelX + 1 30244 KachelY + 1 20071 -0.24198547 0.99518332 -13.864746 57.019804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99523551-0.99518332) × R
    5.21900000000075e-05 × 6371000     		dl = 332.502490000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99523551-0.99518332) × R
    5.21900000000075e-05 × 6371000     		dr = 332.502490000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(0.99523551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544305338274091 × 6371000     		do = 332.45504376352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(0.99518332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.544349119054643 × 6371000     		du = 332.481784528843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99523551)-sin(0.99518332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544305338274091-0.544349119054643)×R²
    abs(-0.24198547--0.24208134)×4.37807805524493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37807805524493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37807805524493e-05×40589641000000     		ar = 110546.575575292m²