Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30243 / 17121
↖ ↑ ↗
← N 64.846602°
W 13.870239°		 ← 259.61 m → N 64.846602°
W 13.864746°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
N 64.844268°
W 13.870239°		 ← 259.63 m →
67 403 m²		 N 64.844268°
W 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461479187011719 y=0.261253356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461479187011719 × 216)
    floor (0.461479187011719 × 65536)
    floor (30243.5)     		tx = 30243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261253356933594 × 216)
    floor (0.261253356933594 × 65536)
    floor (17121.5)     		ty = 17121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30243 / 17121 ti = "16/30243/17121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30243/17121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30243 ÷ 216
    30243 ÷ 65536     		x = 0.461471557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17121 ÷ 216
    17121 ÷ 65536     		y = 0.261245727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461471557617188 × 2 - 1) × π
    -0.077056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24208134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261245727539062 × 2 - 1) × π
    0.477508544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50013733671004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24208134} λ = -0.24208134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50013733671004))-π/2
    2×atan(4.48230461303773)-π/2
    2×1.35129152485386-π/2
    2.70258304970772-1.57079632675     		φ = 1.13178672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24208134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.870239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13178672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.846602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30243 KachelY 17121 -0.24208134 1.13178672 -13.870239 64.846602
    Oben rechts KachelX + 1 30244 KachelY 17121 -0.24198547 1.13178672 -13.864746 64.846602
    Unten links KachelX 30243 KachelY + 1 17122 -0.24208134 1.13174597 -13.870239 64.844268
    Unten rechts KachelX + 1 30244 KachelY + 1 17122 -0.24198547 1.13174597 -13.864746 64.844268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13178672-1.13174597) × R
    4.07499999999228e-05 × 6371000     		dl = 259.618249999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13178672-1.13174597) × R
    4.07499999999228e-05 × 6371000     		dr = 259.618249999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(1.13178672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425043196415471 × 6371000     		do = 259.611186092272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24208134--0.24198547) × cos(1.13174597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425080081865034 × 6371000     		du = 259.633715273756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13178672)-sin(1.13174597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425043196415471-0.425080081865034)×R²
    abs(-0.24198547--0.24208134)×3.68854495635951e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68854495635951e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68854495635951e-05×40589641000000     		ar = 67402.7263162008m²