Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30242 / 41498
↖ ↑ ↗
← S 43.173135°
W 13.875733°		 ← 445.49 m → S 43.173135°
W 13.870239°		 →
↑
445.46 m
↓
↑
445.46 m
↓
S 43.177141°
W 13.875733°		 ← 445.46 m →
198 441 m²		 S 43.177141°
W 13.870239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461463928222656 y=0.633216857910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461463928222656 × 216)
    floor (0.461463928222656 × 65536)
    floor (30242.5)     		tx = 30242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633216857910156 × 216)
    floor (0.633216857910156 × 65536)
    floor (41498.5)     		ty = 41498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30242 / 41498 ti = "16/30242/41498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30242/41498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30242 ÷ 216
    30242 ÷ 65536     		x = 0.461456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41498 ÷ 216
    41498 ÷ 65536     		y = 0.633209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.07708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24217722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633209228515625 × 2 - 1) × π
    -0.26641845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.83697826736618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24217722} λ = -0.24217722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.83697826736618))-π/2
    2×atan(0.433017010138739)-π/2
    2×0.408641483088962-π/2
    0.817282966177924-1.57079632675     		φ = -0.75351336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24217722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.875733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75351336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.173135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30242 KachelY 41498 -0.24217722 -0.75351336 -13.875733 -43.173135
    Oben rechts KachelX + 1 30243 KachelY 41498 -0.24208134 -0.75351336 -13.870239 -43.173135
    Unten links KachelX 30242 KachelY + 1 41499 -0.24217722 -0.75358328 -13.875733 -43.177141
    Unten rechts KachelX + 1 30243 KachelY + 1 41499 -0.24208134 -0.75358328 -13.870239 -43.177141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75351336--0.75358328) × R
    6.99199999999456e-05 × 6371000     		dl = 445.460319999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75351336--0.75358328) × R
    6.99199999999456e-05 × 6371000     		dr = 445.460319999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24217722--0.24208134) × cos(-0.75351336) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.729289515578023 × 6371000     		do = 445.487579939284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24217722--0.24208134) × cos(-0.75358328) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.729241674165411 × 6371000     		du = 445.458355941585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75351336)-sin(-0.75358328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729289515578023-0.729241674165411)×R²
    abs(-0.24208134--0.24217722)×4.78414126119375e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78414126119375e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78414126119375e-05×40589641000000     		ar = 198440.530930563m²