Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30242 / 30022
↖ ↑ ↗
← S 81.630951°
E152.248535°		 ← 177.81 m → S 81.630951°
E152.259522°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
S 81.632550°
E152.248535°		 ← 177.77 m →
31 614 m²		 S 81.632550°
E152.259522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922927856445312 y=0.916213989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922927856445312 × 215)
    floor (0.922927856445312 × 32768)
    floor (30242.5)     		tx = 30242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916213989257812 × 215)
    floor (0.916213989257812 × 32768)
    floor (30022.5)     		ty = 30022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30242 / 30022 ti = "15/30242/30022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30242/30022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30242 ÷ 215
    30242 ÷ 32768     		x = 0.92291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30022 ÷ 215
    30022 ÷ 32768     		y = 0.91619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92291259765625 × 2 - 1) × π
    0.8458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65723822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.8323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.6150537480733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65723822} λ = 2.65723822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6150537480733))-π/2
    2×atan(0.0731638561739956)-π/2
    2×0.0730337263816419-π/2
    0.146067452763284-1.57079632675     		φ = -1.42472887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65723822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.248535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42472887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.630951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30242 KachelY 30022 2.65723822 -1.42472887 152.248535 -81.630951
    Oben rechts KachelX + 1 30243 KachelY 30022 2.65742997 -1.42472887 152.259522 -81.630951
    Unten links KachelX 30242 KachelY + 1 30023 2.65723822 -1.42475678 152.248535 -81.632550
    Unten rechts KachelX + 1 30243 KachelY + 1 30023 2.65742997 -1.42475678 152.259522 -81.632550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42472887--1.42475678) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dl = 177.814610000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42472887--1.42475678) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dr = 177.814610000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65723822-2.65742997) × cos(-1.42472887) × R
    0.000191749999999935 × 0.145548601990792 × 6371000     		do = 177.80788497452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65723822-2.65742997) × cos(-1.42475678) × R
    0.000191749999999935 × 0.14552098914483 × 6371000     		du = 177.774152038088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42472887)-sin(-1.42475678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145548601990792-0.14552098914483)×R²
    abs(2.65742997-2.65723822)×2.76128459622826e-05×R²
    0.000191749999999935×2.76128459622826e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.76128459622826e-05×40589641000000     		ar = 31613.8406199943m²