Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30242 / 20000
↖ ↑ ↗
← N 57.231503°
W 13.875733°		 ← 330.62 m → N 57.231503°
W 13.870239°		 →
↑
330.59 m
↓
↑
330.59 m
↓
N 57.228530°
W 13.875733°		 ← 330.65 m →
109 305 m²		 N 57.228530°
W 13.870239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461463928222656 y=0.305183410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461463928222656 × 216)
    floor (0.461463928222656 × 65536)
    floor (30242.5)     		tx = 30242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305183410644531 × 216)
    floor (0.305183410644531 × 65536)
    floor (20000.5)     		ty = 20000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30242 / 20000 ti = "16/30242/20000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30242/20000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30242 ÷ 216
    30242 ÷ 65536     		x = 0.461456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20000 ÷ 216
    20000 ÷ 65536     		y = 0.30517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.07708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24217722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30517578125 × 2 - 1) × π
    0.3896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22411666869775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24217722} λ = -0.24217722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22411666869775))-π/2
    2×atan(3.40116040403235)-π/2
    2×1.28483724492113-π/2
    2.56967448984225-1.57079632675     		φ = 0.99887816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24217722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.875733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99887816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.231503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30242 KachelY 20000 -0.24217722 0.99887816 -13.875733 57.231503
    Oben rechts KachelX + 1 30243 KachelY 20000 -0.24208134 0.99887816 -13.870239 57.231503
    Unten links KachelX 30242 KachelY + 1 20001 -0.24217722 0.99882627 -13.875733 57.228530
    Unten rechts KachelX + 1 30243 KachelY + 1 20001 -0.24208134 0.99882627 -13.870239 57.228530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99887816-0.99882627) × R
    5.18899999999434e-05 × 6371000     		dl = 330.591189999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99887816-0.99882627) × R
    5.18899999999434e-05 × 6371000     		dr = 330.591189999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24217722--0.24208134) × cos(0.99887816) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541245961487789 × 6371000     		do = 330.620896618814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24217722--0.24208134) × cos(0.99882627) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541289593208802 × 6371000     		du = 330.647549120169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99887816)-sin(0.99882627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541245961487789-0.541289593208802)×R²
    abs(-0.24208134--0.24217722)×4.363172101296e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.363172101296e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.363172101296e-05×40589641000000     		ar = 109304.761217538m²