Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30241 / 41717
↖ ↑ ↗
← S 44.044168°
W 13.881226°		 ← 439.04 m → S 44.044168°
W 13.875733°		 →
↑
439.03 m
↓
↑
439.03 m
↓
S 44.048116°
W 13.881226°		 ← 439.01 m →
192 742 m²		 S 44.048116°
W 13.875733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461448669433594 y=0.636558532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461448669433594 × 216)
    floor (0.461448669433594 × 65536)
    floor (30241.5)     		tx = 30241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636558532714844 × 216)
    floor (0.636558532714844 × 65536)
    floor (41717.5)     		ty = 41717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30241 / 41717 ti = "16/30241/41717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30241/41717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30241 ÷ 216
    30241 ÷ 65536     		x = 0.461441040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41717 ÷ 216
    41717 ÷ 65536     		y = 0.636550903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    -0.077117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24227309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636550903320312 × 2 - 1) × π
    -0.273101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.857974629399765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24227309} λ = -0.24227309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857974629399765))-π/2
    2×atan(0.424020010876772)-π/2
    2×0.401040295096646-π/2
    0.802080590193292-1.57079632675     		φ = -0.76871574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24227309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.881226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76871574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.044168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30241 KachelY 41717 -0.24227309 -0.76871574 -13.881226 -44.044168
    Oben rechts KachelX + 1 30242 KachelY 41717 -0.24217722 -0.76871574 -13.875733 -44.044168
    Unten links KachelX 30241 KachelY + 1 41718 -0.24227309 -0.76878465 -13.881226 -44.048116
    Unten rechts KachelX + 1 30242 KachelY + 1 41718 -0.24217722 -0.76878465 -13.875733 -44.048116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76871574--0.76878465) × R
    6.89099999999776e-05 × 6371000     		dl = 439.025609999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76871574--0.76878465) × R
    6.89099999999776e-05 × 6371000     		dr = 439.025609999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24227309--0.24217722) × cos(-0.76871574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.718804095973272 × 6371000     		do = 439.036750846371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24227309--0.24217722) × cos(-0.76878465) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71875618716082 × 6371000     		du = 439.007488729651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76871574)-sin(-0.76878465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718804095973272-0.71875618716082)×R²
    abs(-0.24217722--0.24227309)×4.79088124516469e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79088124516469e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79088124516469e-05×40589641000000     		ar = 192741.954019574m²