Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30241 / 41486
↖ ↑ ↗
← S 43.125043°
W 13.881226°		 ← 445.79 m → S 43.125043°
W 13.875733°		 →
↑
445.84 m
↓
↑
445.84 m
↓
S 43.129053°
W 13.881226°		 ← 445.76 m →
198 746 m²		 S 43.129053°
W 13.875733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461448669433594 y=0.633033752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461448669433594 × 216)
    floor (0.461448669433594 × 65536)
    floor (30241.5)     		tx = 30241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633033752441406 × 216)
    floor (0.633033752441406 × 65536)
    floor (41486.5)     		ty = 41486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30241 / 41486 ti = "16/30241/41486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30241/41486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30241 ÷ 216
    30241 ÷ 65536     		x = 0.461441040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41486 ÷ 216
    41486 ÷ 65536     		y = 0.633026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    -0.077117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24227309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.26605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.835827781775299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24227309} λ = -0.24227309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.835827781775299))-π/2
    2×atan(0.4335154766538)-π/2
    2×0.409061166738248-π/2
    0.818122333476497-1.57079632675     		φ = -0.75267399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24227309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.881226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75267399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.125043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30241 KachelY 41486 -0.24227309 -0.75267399 -13.881226 -43.125043
    Oben rechts KachelX + 1 30242 KachelY 41486 -0.24217722 -0.75267399 -13.875733 -43.125043
    Unten links KachelX 30241 KachelY + 1 41487 -0.24227309 -0.75274397 -13.881226 -43.129053
    Unten rechts KachelX + 1 30242 KachelY + 1 41487 -0.24217722 -0.75274397 -13.875733 -43.129053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75267399--0.75274397) × R
    6.9980000000025e-05 × 6371000     		dl = 445.842580000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75267399--0.75274397) × R
    6.9980000000025e-05 × 6371000     		dr = 445.842580000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24227309--0.24217722) × cos(-0.75267399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.729863559950463 × 6371000     		do = 445.791736186395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24227309--0.24217722) × cos(-0.75274397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.729815720335751 × 6371000     		du = 445.762516334807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75267399)-sin(-0.75274397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729863559950463-0.729815720335751)×R²
    abs(-0.24217722--0.24227309)×4.78396147114424e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78396147114424e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78396147114424e-05×40589641000000     		ar = 198746.424158162m²