Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30241 / 39457
↖ ↑ ↗
← S 34.456748°
W 13.881226°		 ← 503.63 m → S 34.456748°
W 13.875733°		 →
↑
503.63 m
↓
↑
503.63 m
↓
S 34.461277°
W 13.881226°		 ← 503.60 m →
253 634 m²		 S 34.461277°
W 13.875733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461448669433594 y=0.602073669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461448669433594 × 216)
    floor (0.461448669433594 × 65536)
    floor (30241.5)     		tx = 30241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602073669433594 × 216)
    floor (0.602073669433594 × 65536)
    floor (39457.5)     		ty = 39457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30241 / 39457 ti = "16/30241/39457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30241/39457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30241 ÷ 216
    30241 ÷ 65536     		x = 0.461441040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39457 ÷ 216
    39457 ÷ 65536     		y = 0.602066040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    -0.077117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24227309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602066040039062 × 2 - 1) × π
    -0.204132080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.641299843117111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24227309} λ = -0.24227309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641299843117111))-π/2
    2×atan(0.526607471876572)-π/2
    2×0.484706312309668-π/2
    0.969412624619336-1.57079632675     		φ = -0.60138370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24227309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.881226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60138370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.456748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30241 KachelY 39457 -0.24227309 -0.60138370 -13.881226 -34.456748
    Oben rechts KachelX + 1 30242 KachelY 39457 -0.24217722 -0.60138370 -13.875733 -34.456748
    Unten links KachelX 30241 KachelY + 1 39458 -0.24227309 -0.60146275 -13.881226 -34.461277
    Unten rechts KachelX + 1 30242 KachelY + 1 39458 -0.24217722 -0.60146275 -13.875733 -34.461277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60138370--0.60146275) × R
    7.90500000000804e-05 × 6371000     		dl = 503.627550000513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60138370--0.60146275) × R
    7.90500000000804e-05 × 6371000     		dr = 503.627550000513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24227309--0.24217722) × cos(-0.60138370) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.824553529264297 × 6371000     		do = 503.627211384959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24227309--0.24217722) × cos(-0.60146275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.824508801466868 × 6371000     		du = 503.59989219331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60138370)-sin(-0.60146275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824553529264297-0.824508801466868)×R²
    abs(-0.24217722--0.24227309)×4.47277974293669e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47277974293669e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47277974293669e-05×40589641000000     		ar = 253633.65936654m²