Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30241 / 29985
↖ ↑ ↗
← S 81.571578°
E152.237549°		 ← 179.06 m → S 81.571578°
E152.248535°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
S 81.573189°
E152.237549°		 ← 179.03 m →
32 065 m²		 S 81.573189°
E152.248535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922897338867188 y=0.915084838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922897338867188 × 215)
    floor (0.922897338867188 × 32768)
    floor (30241.5)     		tx = 30241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915084838867188 × 215)
    floor (0.915084838867188 × 32768)
    floor (29985.5)     		ty = 29985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30241 / 29985 ti = "15/30241/29985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30241/29985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30241 ÷ 215
    30241 ÷ 32768     		x = 0.922882080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29985 ÷ 215
    29985 ÷ 32768     		y = 0.915069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922882080078125 × 2 - 1) × π
    0.84576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.65704647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.83013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60795908692953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65704647} λ = 2.65704647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60795908692953))-π/2
    2×atan(0.0736847746264735)-π/2
    2×0.0735518515425085-π/2
    0.147103703085017-1.57079632675     		φ = -1.42369262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65704647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.237549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42369262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.571578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30241 KachelY 29985 2.65704647 -1.42369262 152.237549 -81.571578
    Oben rechts KachelX + 1 30242 KachelY 29985 2.65723822 -1.42369262 152.248535 -81.571578
    Unten links KachelX 30241 KachelY + 1 29986 2.65704647 -1.42372073 152.237549 -81.573189
    Unten rechts KachelX + 1 30242 KachelY + 1 29986 2.65723822 -1.42372073 152.248535 -81.573189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42369262--1.42372073) × R
    2.81100000001366e-05 × 6371000     		dl = 179.088810000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42369262--1.42372073) × R
    2.81100000001366e-05 × 6371000     		dr = 179.088810000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65704647-2.65723822) × cos(-1.42369262) × R
    0.000191749999999935 × 0.146573738741446 × 6371000     		do = 179.060232265736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65704647-2.65723822) × cos(-1.42372073) × R
    0.000191749999999935 × 0.146545932278657 × 6371000     		du = 179.026262799389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42369262)-sin(-1.42372073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146573738741446-0.146545932278657)×R²
    abs(2.65723822-2.65704647)×2.78064627888541e-05×R²
    0.000191749999999935×2.78064627888541e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.78064627888541e-05×40589641000000     		ar = 32064.6421412152m²