Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30241 / 28000
↖ ↑ ↗
← N 25.324167°
W 13.881226°		 ← 552.09 m → N 25.324167°
W 13.875733°		 →
↑
552.17 m
↓
↑
552.17 m
↓
N 25.319201°
W 13.881226°		 ← 552.12 m →
304 858 m²		 N 25.319201°
W 13.875733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461448669433594 y=0.427253723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461448669433594 × 216)
    floor (0.461448669433594 × 65536)
    floor (30241.5)     		tx = 30241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427253723144531 × 216)
    floor (0.427253723144531 × 65536)
    floor (28000.5)     		ty = 28000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30241 / 28000 ti = "16/30241/28000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30241/28000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30241 ÷ 216
    30241 ÷ 65536     		x = 0.461441040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28000 ÷ 216
    28000 ÷ 65536     		y = 0.42724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    -0.077117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24227309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.457126274776855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24227309} λ = -0.24227309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457126274776855))-π/2
    2×atan(1.57952832624386)-π/2
    2×1.00639320649028-π/2
    2.01278641298055-1.57079632675     		φ = 0.44199009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24227309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.881226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44199009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.324167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30241 KachelY 28000 -0.24227309 0.44199009 -13.881226 25.324167
    Oben rechts KachelX + 1 30242 KachelY 28000 -0.24217722 0.44199009 -13.875733 25.324167
    Unten links KachelX 30241 KachelY + 1 28001 -0.24227309 0.44190342 -13.881226 25.319201
    Unten rechts KachelX + 1 30242 KachelY + 1 28001 -0.24217722 0.44190342 -13.875733 25.319201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44199009-0.44190342) × R
    8.66700000000109e-05 × 6371000     		dl = 552.174570000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44199009-0.44190342) × R
    8.66700000000109e-05 × 6371000     		dr = 552.174570000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24227309--0.24217722) × cos(0.44199009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903902214294465 × 6371000     		do = 552.092417766966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24227309--0.24217722) × cos(0.44190342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903939283052297 × 6371000     		du = 552.115058910899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44199009)-sin(0.44190342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903902214294465-0.903939283052297)×R²
    abs(-0.24217722--0.24227309)×3.70687578316042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70687578316042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70687578316042e-05×40589641000000     		ar = 304857.644503526m²