Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30241 / 17255
↖ ↑ ↗
← N 64.531910°
W 13.881226°		 ← 262.64 m → N 64.531910°
W 13.875733°		 →
↑
262.68 m
↓
↑
262.68 m
↓
N 64.529548°
W 13.881226°		 ← 262.67 m →
68 993 m²		 N 64.529548°
W 13.875733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461448669433594 y=0.263298034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461448669433594 × 216)
    floor (0.461448669433594 × 65536)
    floor (30241.5)     		tx = 30241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263298034667969 × 216)
    floor (0.263298034667969 × 65536)
    floor (17255.5)     		ty = 17255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30241 / 17255 ti = "16/30241/17255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30241/17255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30241 ÷ 216
    30241 ÷ 65536     		x = 0.461441040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17255 ÷ 216
    17255 ÷ 65536     		y = 0.263290405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    -0.077117919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24227309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263290405273438 × 2 - 1) × π
    0.473419189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48729024761186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24227309} λ = -0.24227309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48729024761186))-π/2
    2×atan(4.42508836437974)-π/2
    2×1.34854531799935-π/2
    2.6970906359987-1.57079632675     		φ = 1.12629431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24227309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.881226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12629431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.531910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30241 KachelY 17255 -0.24227309 1.12629431 -13.881226 64.531910
    Oben rechts KachelX + 1 30242 KachelY 17255 -0.24217722 1.12629431 -13.875733 64.531910
    Unten links KachelX 30241 KachelY + 1 17256 -0.24227309 1.12625308 -13.881226 64.529548
    Unten rechts KachelX + 1 30242 KachelY + 1 17256 -0.24217722 1.12625308 -13.875733 64.529548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12629431-1.12625308) × R
    4.12300000001142e-05 × 6371000     		dl = 262.676330000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12629431-1.12625308) × R
    4.12300000001142e-05 × 6371000     		dr = 262.676330000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24227309--0.24217722) × cos(1.12629431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430008341993335 × 6371000     		do = 262.643836287501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24227309--0.24217722) × cos(1.12625308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430045565099052 × 6371000     		du = 262.666571705234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12629431)-sin(1.12625308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430008341993335-0.430045565099052)×R²
    abs(-0.24217722--0.24227309)×3.72231057162997e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72231057162997e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72231057162997e-05×40589641000000     		ar = 68993.3050514245m²