Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30240 / 7008
↖ ↑ ↗
← N 71.187754°
E152.226562°		 ← 393.94 m → N 71.187754°
E152.237549°		 →
↑
393.98 m
↓
↑
393.98 m
↓
N 71.184211°
E152.226562°		 ← 394.01 m →
155 219 m²		 N 71.184211°
E152.237549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922866821289062 y=0.213882446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922866821289062 × 215)
    floor (0.922866821289062 × 32768)
    floor (30240.5)     		tx = 30240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213882446289062 × 215)
    floor (0.213882446289062 × 32768)
    floor (7008.5)     		ty = 7008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30240 / 7008 ti = "15/30240/7008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30240/7008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30240 ÷ 215
    30240 ÷ 32768     		x = 0.9228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7008 ÷ 215
    7008 ÷ 32768     		y = 0.2138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9228515625 × 2 - 1) × π
    0.845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65685472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2138671875 × 2 - 1) × π
    0.572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79782548335059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65685472} λ = 2.65685472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79782548335059))-π/2
    2×atan(6.03650669786435)-π/2
    2×1.40662850987461-π/2
    2.81325701974922-1.57079632675     		φ = 1.24246069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65685472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24246069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.187754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30240 KachelY 7008 2.65685472 1.24246069 152.226562 71.187754
    Oben rechts KachelX + 1 30241 KachelY 7008 2.65704647 1.24246069 152.237549 71.187754
    Unten links KachelX 30240 KachelY + 1 7009 2.65685472 1.24239885 152.226562 71.184211
    Unten rechts KachelX + 1 30241 KachelY + 1 7009 2.65704647 1.24239885 152.237549 71.184211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24246069-1.24239885) × R
    6.18399999998687e-05 × 6371000     		dl = 393.982639999163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24246069-1.24239885) × R
    6.18399999998687e-05 × 6371000     		dr = 393.982639999163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65685472-2.65704647) × cos(1.24246069) × R
    0.000191749999999935 × 0.322468022238295 × 6371000     		do = 393.939592836041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65685472-2.65704647) × cos(1.24239885) × R
    0.000191749999999935 × 0.322526558151023 × 6371000     		du = 394.011102604564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24246069)-sin(1.24239885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322468022238295-0.322526558151023)×R²
    abs(2.65704647-2.65685472)×5.85359127282525e-05×R²
    0.000191749999999935×5.85359127282525e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.85359127282525e-05×40589641000000     		ar = 155219.447639595m²