Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30240 / 41312
↖ ↑ ↗
← S 42.423457°
W 13.886718°		 ← 450.87 m → S 42.423457°
W 13.881226°		 →
↑
450.88 m
↓
↑
450.88 m
↓
S 42.427512°
W 13.886718°		 ← 450.84 m →
203 280 m²		 S 42.427512°
W 13.881226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461433410644531 y=0.630378723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461433410644531 × 216)
    floor (0.461433410644531 × 65536)
    floor (30240.5)     		tx = 30240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630378723144531 × 216)
    floor (0.630378723144531 × 65536)
    floor (41312.5)     		ty = 41312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30240 / 41312 ti = "16/30240/41312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30240/41312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30240 ÷ 216
    30240 ÷ 65536     		x = 0.46142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41312 ÷ 216
    41312 ÷ 65536     		y = 0.63037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81914574070752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24236896} λ = -0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81914574070752))-π/2
    2×atan(0.440808058089803)-π/2
    2×0.415183665248754-π/2
    0.830367330497507-1.57079632675     		φ = -0.74042900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74042900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.423457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30240 KachelY 41312 -0.24236896 -0.74042900 -13.886718 -42.423457
    Oben rechts KachelX + 1 30241 KachelY 41312 -0.24227309 -0.74042900 -13.881226 -42.423457
    Unten links KachelX 30240 KachelY + 1 41313 -0.24236896 -0.74049977 -13.886718 -42.427512
    Unten rechts KachelX + 1 30241 KachelY + 1 41313 -0.24227309 -0.74049977 -13.881226 -42.427512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74042900--0.74049977) × R
    7.07699999999978e-05 × 6371000     		dl = 450.875669999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74042900--0.74049977) × R
    7.07699999999978e-05 × 6371000     		dr = 450.875669999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24236896--0.24227309) × cos(-0.74042900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738179221270127 × 6371000     		do = 450.870840419908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24236896--0.24227309) × cos(-0.74049977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738131477650358 × 6371000     		du = 450.841679200857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74042900)-sin(-0.74049977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738179221270127-0.738131477650358)×R²
    abs(-0.24227309--0.24236896)×4.77436197691139e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77436197691139e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77436197691139e-05×40589641000000     		ar = 203280.118300669m²