Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30239 / 19999
↖ ↑ ↗
← N 57.234476°
W 13.892212°		 ← 330.59 m → N 57.234476°
W 13.886718°		 →
↑
330.59 m
↓
↑
330.59 m
↓
N 57.231503°
W 13.892212°		 ← 330.62 m →
109 296 m²		 N 57.231503°
W 13.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461418151855469 y=0.305168151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461418151855469 × 216)
    floor (0.461418151855469 × 65536)
    floor (30239.5)     		tx = 30239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305168151855469 × 216)
    floor (0.305168151855469 × 65536)
    floor (19999.5)     		ty = 19999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30239 / 19999 ti = "16/30239/19999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30239/19999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30239 ÷ 216
    30239 ÷ 65536     		x = 0.461410522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19999 ÷ 216
    19999 ÷ 65536     		y = 0.305160522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461410522460938 × 2 - 1) × π
    -0.077178955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24246484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305160522460938 × 2 - 1) × π
    0.389678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22421254249699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24246484} λ = -0.24246484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22421254249699))-π/2
    2×atan(3.40148650183398)-π/2
    2×1.28486318952852-π/2
    2.56972637905703-1.57079632675     		φ = 0.99893005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24246484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.892212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99893005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.234476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30239 KachelY 19999 -0.24246484 0.99893005 -13.892212 57.234476
    Oben rechts KachelX + 1 30240 KachelY 19999 -0.24236896 0.99893005 -13.886718 57.234476
    Unten links KachelX 30239 KachelY + 1 20000 -0.24246484 0.99887816 -13.892212 57.231503
    Unten rechts KachelX + 1 30240 KachelY + 1 20000 -0.24236896 0.99887816 -13.886718 57.231503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99893005-0.99887816) × R
    5.18900000000544e-05 × 6371000     		dl = 330.591190000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99893005-0.99887816) × R
    5.18900000000544e-05 × 6371000     		dr = 330.591190000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24246484--0.24236896) × cos(0.99893005) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541202328309433 × 6371000     		do = 330.594243227237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24246484--0.24236896) × cos(0.99887816) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.541245961487789 × 6371000     		du = 330.620896618814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99893005)-sin(0.99887816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541202328309433-0.541245961487789)×R²
    abs(-0.24236896--0.24246484)×4.36331783566501e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.36331783566501e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.36331783566501e-05×40589641000000     		ar = 109295.949988712m²