Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30238 / 20014
↖ ↑ ↗
← N 57.189855°
W 13.897705°		 ← 330.96 m → N 57.189855°
W 13.892212°		 →
↑
330.97 m
↓
↑
330.97 m
↓
N 57.186879°
W 13.897705°		 ← 330.99 m →
109 543 m²		 N 57.186879°
W 13.892212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461402893066406 y=0.305397033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461402893066406 × 216)
    floor (0.461402893066406 × 65536)
    floor (30238.5)     		tx = 30238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305397033691406 × 216)
    floor (0.305397033691406 × 65536)
    floor (20014.5)     		ty = 20014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30238 / 20014 ti = "16/30238/20014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30238/20014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30238 ÷ 216
    30238 ÷ 65536     		x = 0.461395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20014 ÷ 216
    20014 ÷ 65536     		y = 0.305389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.07720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24256071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305389404296875 × 2 - 1) × π
    0.38922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22277443550839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24256071} λ = -0.24256071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22277443550839))-π/2
    2×atan(3.39659831603359)-π/2
    2×1.28447380074876-π/2
    2.56894760149751-1.57079632675     		φ = 0.99815127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24256071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99815127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.189855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30238 KachelY 20014 -0.24256071 0.99815127 -13.897705 57.189855
    Oben rechts KachelX + 1 30239 KachelY 20014 -0.24246484 0.99815127 -13.892212 57.189855
    Unten links KachelX 30238 KachelY + 1 20015 -0.24256071 0.99809932 -13.897705 57.186879
    Unten rechts KachelX + 1 30239 KachelY + 1 20015 -0.24246484 0.99809932 -13.892212 57.186879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99815127-0.99809932) × R
    5.19500000000228e-05 × 6371000     		dl = 330.973450000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99815127-0.99809932) × R
    5.19500000000228e-05 × 6371000     		dr = 330.973450000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24256071--0.24246484) × cos(0.99815127) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.541857034312678 × 6371000     		do = 330.959649646743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24256071--0.24246484) × cos(0.99809932) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.541900696033006 × 6371000     		du = 330.986317691536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99815127)-sin(0.99809932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541857034312678-0.541900696033006)×R²
    abs(-0.24246484--0.24256071)×4.36617203278811e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.36617203278811e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.36617203278811e-05×40589641000000     		ar = 109543.270286481m²