Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30238 / 17038
↖ ↑ ↗
← N 65.039697°
W 13.897705°		 ← 257.75 m → N 65.039697°
W 13.892212°		 →
↑
257.77 m
↓
↑
257.77 m
↓
N 65.037379°
W 13.897705°		 ← 257.77 m →
66 442 m²		 N 65.037379°
W 13.892212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461402893066406 y=0.259986877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461402893066406 × 216)
    floor (0.461402893066406 × 65536)
    floor (30238.5)     		tx = 30238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259986877441406 × 216)
    floor (0.259986877441406 × 65536)
    floor (17038.5)     		ty = 17038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30238 / 17038 ti = "16/30238/17038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30238/17038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30238 ÷ 216
    30238 ÷ 65536     		x = 0.461395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17038 ÷ 216
    17038 ÷ 65536     		y = 0.259979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.07720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24256071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259979248046875 × 2 - 1) × π
    0.48004150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50809486204697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24256071} λ = -0.24256071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50809486204697))-π/2
    2×atan(4.5181149574597)-π/2
    2×1.3529765916378-π/2
    2.70595318327561-1.57079632675     		φ = 1.13515686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24256071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13515686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.039697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30238 KachelY 17038 -0.24256071 1.13515686 -13.897705 65.039697
    Oben rechts KachelX + 1 30239 KachelY 17038 -0.24246484 1.13515686 -13.892212 65.039697
    Unten links KachelX 30238 KachelY + 1 17039 -0.24256071 1.13511640 -13.897705 65.037379
    Unten rechts KachelX + 1 30239 KachelY + 1 17039 -0.24246484 1.13511640 -13.892212 65.037379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13515686-1.13511640) × R
    4.04599999999089e-05 × 6371000     		dl = 257.77065999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13515686-1.13511640) × R
    4.04599999999089e-05 × 6371000     		dr = 257.77065999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24256071--0.24246484) × cos(1.13515686) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.421990228445362 × 6371000     		do = 257.746470594002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24256071--0.24246484) × cos(1.13511640) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.422026909151282 × 6371000     		du = 257.768874720573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13515686)-sin(1.13511640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421990228445362-0.422026909151282)×R²
    abs(-0.24246484--0.24256071)×3.66807059204444e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.66807059204444e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.66807059204444e-05×40589641000000     		ar = 66442.3654097832m²