Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30237 / 20572
↖ ↑ ↗
← N 55.491303°
W 13.903198°		 ← 346.07 m → N 55.491303°
W 13.897705°		 →
↑
346.01 m
↓
↑
346.01 m
↓
N 55.488192°
W 13.903198°		 ← 346.09 m →
119 747 m²		 N 55.488192°
W 13.897705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461387634277344 y=0.313911437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461387634277344 × 216)
    floor (0.461387634277344 × 65536)
    floor (30237.5)     		tx = 30237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313911437988281 × 216)
    floor (0.313911437988281 × 65536)
    floor (20572.5)     		ty = 20572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30237 / 20572 ti = "16/30237/20572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30237/20572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30237 ÷ 216
    30237 ÷ 65536     		x = 0.461380004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20572 ÷ 216
    20572 ÷ 65536     		y = 0.31390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461380004882812 × 2 - 1) × π
    -0.077239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24265659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31390380859375 × 2 - 1) × π
    0.3721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16927685553241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24265659} λ = -0.24265659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16927685553241))-π/2
    2×atan(3.21966351462536)-π/2
    2×1.269651140656-π/2
    2.539302281312-1.57079632675     		φ = 0.96850595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24265659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96850595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.491303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30237 KachelY 20572 -0.24265659 0.96850595 -13.903198 55.491303
    Oben rechts KachelX + 1 30238 KachelY 20572 -0.24256071 0.96850595 -13.897705 55.491303
    Unten links KachelX 30237 KachelY + 1 20573 -0.24265659 0.96845164 -13.903198 55.488192
    Unten rechts KachelX + 1 30238 KachelY + 1 20573 -0.24256071 0.96845164 -13.897705 55.488192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96850595-0.96845164) × R
    5.43100000000019e-05 × 6371000     		dl = 346.009010000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96850595-0.96845164) × R
    5.43100000000019e-05 × 6371000     		dr = 346.009010000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24265659--0.24256071) × cos(0.96850595) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566531320275306 × 6371000     		do = 346.066495456498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24265659--0.24256071) × cos(0.96845164) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566576073063425 × 6371000     		du = 346.093832763355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96850595)-sin(0.96845164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566531320275306-0.566576073063425)×R²
    abs(-0.24256071--0.24265659)×4.47527881195509e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47527881195509e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47527881195509e-05×40589641000000     		ar = 119746.854993752m²